Dans cet article, nous allons définir la notion fondamentale de rayon à travers sa définition la plus basique pour un cercle mais une généralisation plus globale.
Rayon d’un cercle ou d’une sphère
Pour un cercle ou une sphère, le rayon est la longueur reliant le centre à chacun des points du cercle ou de la sphère.
Pour un cercle, on relie le rayon R à sa circonférence L via la formule L = 2 \pi R .
Si D est le diamètre, on a D = 2R
Voici une formule plus complexe : si on connaît trois points (x_1,y_1), (x_2,y_2) et (x_3,y_3) alors on a la formule suivante :
R = \dfrac{\sqrt{\left((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \right)\left((x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2 \right)\left((x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2 \right)}}{2|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|}Définition générale du rayon
Une définition générale du rayon est la suivante : c’est la distance maximale entre le centre et ses points de surface les plus éloignés.
Selon cette définition, le rayon n’est, de manière générale, pas égal au double du diamètre.
Rayon d’un polygone régulier
Pour un polygone régulier de côté c, on a R = \dfrac{c}{2\sin\left( \frac{\pi}{n} \right)}
Autre définition générale du rayon
On peut aussi définir le rayon d’une surface comme le rayon équivalent qu’il faudrait pour qu’un disque ait la même aire. Par la même logique, on définit le rayon d’un volume comme le rayon qu’il faudrait pour qu’une boule ait le même volume.
Ainsi, pour une ellipse, son rayon serait alors R = \sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2} où a est le demi grand axe, b le demi petit axe et e l’excentricité. De même, pour un ellipsoïde, ce serait R = \sqrt[3]{abc} où a,b et c sont les demi axes de l’ellipsoïde.
