Matrices d’application linéaire : Cours

Dans cet article nous allons vous montrer comment calculer une matrice connaissant l’application linéaire qui lui correspond.

Prérequis

• Applications linéaires

Méthode de calcul de la matrice d’une application linéaire

Soit E un espace vectoriel de dimension n muni d’une base \mathcal{B} = (e_1, \ldots , e_n) et F un espace vectoriel de dimension p muni d’une base \mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_p). Soit f : E \to F une application linéaire.

La matrice de f dans les bases \mathcal{B} et \mathcal{B}' s’écrit :

Mat(f, \mathcal{B}, \mathcal{B}') = \begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12}& \ldots &a_{1n}\\
a_{21} &a_{22}& \ldots &a_{2n}\\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\
a_{p1} &a_{p2} & \ldots & a_{pn}
 \end{pmatrix}

La colonne 1 correspond au vecteur u(e_1) écrit dans la base \mathcal{B}'.

De manière générale, la colonne i correspond au vecteur u(e_i) écrit dans la base \mathcal{B}'. On a donc la relation

f(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} e_i

Exemples

Exemple 1 : Soit f l’application linéaire suivante :

f : \left\{ \begin{array}{ccc} \R^3 &\to &\R^2 \\ (x,y,z) & \mapsto & (x+y+z, 2y +z) \end{array}\right. 

On a

\begin{array}{ccc}
f(e_1) & = f(1,0,0) &= (1,0)\\
f(e_2) & = f(0,1,0) &= (1,2)\\
f(e_3) & = f(0,0,1) &= (1,1)
\end{array}

La colonne i correspond à f(e_i) donc on peut écrire

A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 
\end{pmatrix}

Exemple 1 : Soit g l’application linéaire suivante :

g : \left\{ \begin{array}{ccc} \R^2 &\to &\R^3 \\ (x,y) & \mapsto & (x+2y, x,y) \end{array}\right. 

On a :

\begin{array}{ccc}
g(e_1) & = f(1,0) &= (1,1,0)\\
g(e_2) & = f(0,1) &= (2,0,1)\\
\end{array}

La colonne i correspond à f(e_i) donc on peut écrire

A = \begin{pmatrix}
1 & 2  \\
1& 0 \\
0& 1  
\end{pmatrix}