L’équation du second degré sous toutes ses formes

C’est bien de l’équation ax² + bx + c = 0 dont nous allons parler aujourd’hui. Cette équation est associée à la fonction

x \mapsto ax^2 +bx+c

appelée trinôme du second degré. La courbe associée est appelée parabole.

Un peu d’histoire

Chez les Babyloniens

On a retrouvé chez les Babyloniens de nombreuses tables de calculs (multiplications, calculs de carrés, calculs des inverses, …). Ils se sont intéressés à des problèmes du type x² + bx = c ou x² – bx = c avec b et c des nombres positifs mais pas nécessairement entiers. Et les Babyloniens savaient résoudre ces équations. La réponse à la deuxième équation est par exemple

x = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+c}+\frac{b}{2}

On notera cependant de nombreuses différences avec ce que l’on connait maintenant : Notations, formalisme, symbole n’existaient pas sous la même forme qu’aujourd’hui. Par exemple pour la seconde équation, cela ressemblait à quelque chose comme
“Prenons la moitié de b, on la multiplie par elle même. Ajoutons ensuite c à ce résultat et on prend la racine de tout cela. On ajoute alors la moitié de b”.
Et finalement, c’est quelque chose qui ressemble à une notation algorithmique.
Les tablettes retrouvées ne permettent pas à l’heure de comprendre comment les Babyloniens ont fait pour résoudre ces premières équations du second degré.

Chez les Grecs

Le théorème de Pythagore a amené à certaines contradictions amenées par Pythagore : “Tout est nombre”.
L’équation x² = 2 n’a donc pas lieu de résultat sous forme de nombre. Par nombre on entend “nombre rationnel” c’est à dire qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Les Grecs ont alors préféré se concentrer sur la géométrie à travers Euclide et son livre Les Eléments d’Euclide. Les Grecs arrivent à résoudre le même type d’équations que les Babyloniens et avec une démonstration résidant donc dans la géométrie.

Chez les Arabes

On va maintenant 1000 ans plus tard dans le futur (fin du VIII^ème siècle / début IX^ème) avec Al-Khwarizmi et son livre “Livre abrégé du calcul par la restauration et la comparaison” avec 6 cas différents représentant des équations de degré inférieur ou égal à 2 :

• Les carrés égaux à des racines : x² = ax
• Les carrés équivalents à des nombres : ax² = b
• Les racines équivalents à des nombres : x = b
• Les carrés et les racines équivalents à des nombres : ax² + b = c
• Les carrés et les nombres équivalents à des racines : x² + c = bx
• Les racines et les nombres égaux à un carré : bx + c = ax²

Al-Khwarizmi expose à chaque fois son algorithme de résolution et donne une démonstration géométrique, ressemblant en partie à celle d’Euclide.

Si vous aimez l’histoire des mathématiques, je ne peux que vous conseiller ce site.

Quelques applications concrètes

Un soupçon de physique

La chute libre est un cas concret d’application de l’équation du second degré : On jette un caillou du haut d’une falaise à 200 mètres au-dessus du sol. Combien de temps avant que le caillou ne tombe dans la mer ? Avec un peu de physique, on établit que sa position au cours du temps est :

z = -0.5gt^2+200

Même si on n’est pas un site de physique, démontrons le rapidement.
La seule force du caillou est son poids :

P = -mg

On a donc, en appliquant le principe fondamental de la dynamique, qui dit, en version simplifiée, que la somme des forces est égale à la masse multipliée par l’accélération : ma = – mg. Ainsi, a = -g.

Puis une équation du second degré

En intégrant cette équation, on obtient v = -gt, la vitesse initiale étant nulle.
Puis en intégrant encore, on obtient

z = -0.5gt^2 + 200

Voici à quoi ressemble la courbe de la position :

Quand touche le sol, z = 0. On a donc l’équation du second degré : -0,5gt² + 200 = 0
Ainsi, gt² = 400. En approximant g par 10, on obtient, t² = 40. Finalement t = √40 ≃ 6,32 s.
De manière générale. Si on jette un objet d’une hauteur h, son temps de chute t sera d’environ

t= \sqrt{2gh}

Autre application : De nombreuses trajectoires d’objets sont une approximation des fonctions de la forme

x \mapsto ax^2+bx+c

Courbes qu’on appelle paraboles. Football, Rugby, Basket, Tennis : tous ces sports de balles et ballons conduisent à des trajectoires globalement paraboliques. Globalement paraboliques car ce n’est qu’une approximation. On fait par exemple l’hypothèse qu’il n’y a pas de frottement. Le fait qu’un ballon de rugby n’ait pas la forme d’une boule joue aussi sûrement un peu sur sa trajectoire.

Résolution de l’équation du second degré

Soit une équation sous la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0
Une fonction de la forme

x \mapsto ax^2 +bx+c

est appelée trinôme. Trinôme parce qu’elle contient trois termes. Pour être précis, c’est un trinôme du second degré.

Exemple :

x^2+6x+5

est un trinôme du second degré.
Soit

\Delta = b^2 -4ac

Δ s’appelle le discriminant.
Le sigle Δ est la 4ème lettre de l’alphabet grec, écrite en majuscule. Cette lettre se prononce “Delta”

Exemple : Le discriminant de l’équation

x^2+6x+5=0 \ est \ \Delta = 6^2-4\times1 \times 5 =36-20=16

Equation du second degré avec a, b, c réels, Δ > 0

Dans ce cas là, l’équation a deux solutions réelles. Les solutions d’une équation du second degré sont appelées racines. Le système a donc 2 racines réelles.
Les racines sont :

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \text{ou} \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{array}

Exemple : Résoudre l’équation

x^2+6x+5=0

1. On calcule Δ. Comme vu plus haut, Δ = 16. On remarque que 16 = 4².
2. Δ > 0. Cela veut dire qu’on a 2 racines réelles.
3. Les 2 solutions sont

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-6-\sqrt{16}}{2} =\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5 \\ et \\  x_2 = \frac{-6+\sqrt{16}}{2} =\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \end{array}

Equation du second degré avec a, b, c réels, Δ = 0

Dans ce cas là, on a une unique solution, appelée racine double.
En fait, cela revient à prendre Δ = 0 dans les deux solutions au-dessous.
La solution unique s’écrit donc

x = \frac{-b}{2a}

Exemple : Résoudre l’équation

x^2-6x+9=0

1. On calcule Δ. Cette fois,

\Delta = 6^2 -4\times 1 \times 9 = 36-36=0

2. Δ = 0. On a donc une unique solution réelle.

3. La solution est

x = \frac{-(-6)}{2}=3

Autre démonstration :
On remarque que

x^2 - 6x+9=(x-3)^2

On est donc ramenés à résoudre

(x-3)^2=0

Ceci est équivalent à x – 3 = 0
Ainsi, x = 3

Equation du second degré avec a, b, c réels, Δ < 0

Si on ne connait pas les nombres complexes, alors la réponse est : L’équation n’a pas de solution

Si on connait les nombres complexes alors on a 2 racines complexes, conjuguées qui sont

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \\ \text{ou} \\ x_2 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \end{array}

Exemple : Résoudre l’équation

\begin{array}{l} x^2+x+1=0 \\ On \ a \  \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3  \end{array}

On a donc Δ < 0. Si on cherche des solutions réelles, alors on n’a pas de solution. Si on cherche des solutions complexes, on a 2 racines conjuguées

On a -Δ = 3. On trouve donc les 2 solutions

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \\ et \\ x_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
\end{array}

Equation du second degré avec a, b, c complexes

On est toujours sur une équation de la forme ax² + bx + c = 0 mais cette fois avec a, b et c complexes. Comment résoudre cela ?

On a toujours

\Delta = b^2 -4ac

avec cette fois Δ = A + iB complexe.
Les racines sont toujours de la forme

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ ou \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{array}

Cependant, quel sens donner à

"\sqrt{\Delta}"

La réponse n’est pas simple. On pose alors δ = a + ib tel que

\delta^2 = \Delta

Il s’agit alors de calculer δ. Les solutions seront alors

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-b-\delta}{2a} \\ et \\ x_2=\frac{-b+\delta}{2a}\end{array}

Comment calculer ce fameux δ ? 3 propriétés nous permettent sa résolution. Calculons d’abord δ².

\delta^2 = (a+ib)^2=a^2-b^2 +2iab

D’abord, on égalise les parties réelles entre nos deux deltas :

Re(\delta^2)=Re(\Delta) \Leftrightarrow a^2-b^2 = A 

Ensuite, on égalise les parties imaginaires entre nos deux deltas :

Im(\delta^2)=Im(\Delta) \Leftrightarrow 2ab = B

On a aussi égalité des modules entre nos deux deltas :

|\delta^2| = |\Delta| \Leftrightarrow a^2+b^2 = \sqrt{A^2+B^2}

Ainsi, on se retrouve alors avec un système d’inconnues a et b avec 2 paramètres connus A et B :

\left\{\begin{matrix}
a^2+b^2&=&\sqrt{A^2+B^2}\\ 
a^2-b^2&=&A\\ 
2ab&=&B
\end{matrix}\right.

Pour résoudre cette équation, on fait la somme des 2 premières lignes et on divise par 2. De même, on fait aussi la différence des 2 premières lignes en divisant par 2. Ce qui permet d’obtenir :

\left\{\begin{matrix}
a^2&=&\frac{\sqrt{A^2+B^2}+A}{2}\\ 
b^2&=&\frac{\sqrt{A^2+B^2}-A}{2}\\ 
2ab&=&B
\end{matrix}\right.

On calcule ensuite a et b en prenant la racine :

\left\{\begin{matrix}
a&=&\pm\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}+A}{2}}\\ 
b&=&\pm\sqrt{\frac{\sqrt{A^2+B^2}-A}{2}}\\ 
\end{matrix}\right.

On utilise ensuite l’équation 2ab = B : on utilise le signe de B pour en déduire le signe de ab :

• Si B > 0 alors a et b sont de même signe donc les solutions a > 0 et b > 0 ou a < 0 et b < 0 sont les seules solutions
• Si B < 0 alors a et b sont de signe opposé donc les solutions a < 0 et b > 0 ou a > 0 et b < 0 sont les seules solutions

Exemple : Supposons que Δ = 8 + 6i et trouvons δ. Posons a et b réels tels que δ = a + ib. On a :

a^2-b^2 = 8

2ab=6

a^2+b^2=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10

On a donc en faisant la somme et la différence sur les lignes 1 et 3 :
a² = 9
b² = 1
On a aussi 2ab = 6 donc a et b sont de même signe
Ainsi, les solutions sont a = 3 et b = 1 ou a = -3 et b = -1
Finalement, δ = 3 + i ou δ = -3 – i

Exemple avec un polynôme : On veut résoudre z² – 2z – (1 + 3/2i) = 0
Δ = (-2)² – 4 x 1 x ( -1 – 3/2 i) = 4 + 4 + 6i = 8 + 6i
On en déduit donc δ en prenant le résultat de l’exemple précédent : δ = 3 + i
On trouve finalement les solutions

\left\{\begin{matrix}
x_1&=&\frac{2-(3+i)}{2}=\frac{-1-i}{2}\\ 
x_2&=&\frac{2+(3+i)}{2}=\frac{5+i}{2}\\ 
\end{matrix}\right.

Démonstration dans le cas 1

On suppose donc que

\Delta = b^2 -4ac >0

Dans ce cas,

\begin{array}{l} 
ax^2+bx+c \\ \\
= a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{c}{a}\right) \\ \\ 
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right) \\ \\ 
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right) \\ \\ 
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \\ \\ 
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right) \\ \\
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \\ \\
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right) \\ \\
=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right) 
\end{array}

On remarque alors l‘identité remarquable

a^2-b^2 = (a-b)(a+b)

et on obtient donc :

\begin{array}{l} = a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right)\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)+\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right) \\=a \left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{array}

Ce qui nous permet d’avoir finalement l’égalité

a \left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) =0

On obtient ainsi le résultat voulu :

\begin{array}{l} x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\text{ou}\\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{array}

Pour aller plus loin : L’équation du troisième degré

Cet exercice permet de donner un exemple de résolution d’équation du troisième degré :

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