Comment calculer les racines d’un nombre complexe ?

Dans cet article, nous allons nous intéresser à comment calculer les racines d’un nombre complexe avec quelques exemples corrigés.

Prérequis

• Le module d’un nombre complexe

Contexte

Tout comme on définit i et - i comme les deux racines de -1, si on prend un complexe quelconque z, peut-on toujours trouver ses racines ? Concrètement, qu’est-ce que cela signifie ?

Définition

Comment définir les racines d’un nombre complexe ? C’est simple et intuitif ! Soit z \in \mathbb{C}. y est une racine de z si et seulement si y^2 = z

Méthode

Soit Z = X+iY un complexe dont on cherche à calculer la racine. Soit z une racine de Z

Tout d’abord, on sait que z^2 = Z , cela s’écrit donc

\begin{array}{rll}
&(x+iy)^2 &= X+iY\\
\iff &x^2 + 2ixy +i^2y^2 & = X+iY \\
\iff &x^2 -y^2+ 2ixy  & = X+iY \\
\iff &\left\{ \begin{array}{rl} x^2 -y^2 & = X\\
2xy& = Y \end{array}\right. \\
\end{array}

On a donc 2 équations, qui vont bien nous aider. On va obtenir une troisième équation égalisant cette fois les modules : |z|^2 = |Z| . Cela nous donne :

x^2+y^2 = \sqrt{X^2+Y^2}

Rappelons-nous que X et Y sont bien connus.

On a alors 3 équations, vous allez voir pourquoi il est nécessaire d’en avoir 3 :

\left\{ \begin{array}{rl} 
x^2+y^2 & = \sqrt{X^2+Y^2}\\
x^2 -y^2 & = X\\
2xy& = Y \end{array}\right. 

On fait la somme et la différence des deux premières lignes en divisant par 2 :

\left\{ \begin{array}{rl} 
x^2 & = \dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}+X}{2}\\
y^2 & = \dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}-X}{2}\\
2xy& = Y \end{array}\right. 

Ensuite, on prend la racine pour obtenir :

\left\{ \begin{array}{rl} 
x^2 & =\pm \sqrt{ \dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}+X}{2}}\\
y^2 & = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}-X}{2}}\\
2xy& = Y \end{array}\right. 

On a a priori 4 solutions ! Mais la dernière équation 2xy = Y nous permet en fait de conclure car le signe de Y doit être égal au signe de xy :

• Si Y > 0 alors nécessairement x et y sont de même signe (tous les deux positifs ou tous les deux négatifs)
• Si Y < 0 alors x et y sont de signe opposés

On a donc seulement 2 solutions !

Exemple corrigé

Trouver les racines de 3+4i.

On cherche z = x+iy tel que z^2 = 3+4i. On a :

\begin{array}{rll}
&(x+iy)^2 &= 3+4i\\
\iff &x^2 + 2ixy +i^2y^2 & = 3+4i \\
\iff &x^2 -y^2+ 2ixy  & = 3+4i \\
\iff &\left\{ \begin{array}{rl} x^2 -y^2 & = 3\\
2xy& = 4 \end{array}\right. \\
\iff &\left\{ \begin{array}{rl} x^2 -y^2 & = 3\\
xy& = 2 \end{array}\right. \\
\end{array}

On a aussi l’égalité avec les modules :

x^2+y^2 = \sqrt{3^2+4^2} = 5

Ainsi, on a :

\left\{ \begin{array}{rl} 
x^2+y^2 & = 5\\
x^2 -y^2 & = 3\\
xy& = 2 \end{array}\right. 

On fait la somme et la différence qu’on divise par 2 :

\left\{ \begin{array}{rl} 
x^2 & = 4\\
y^2 & = 1\\
xy& = 2 \end{array}\right. 

x et y doivent donc être de même signe, ce qui nous permet de conclure : les couples solutions sont

\{ (2,1);(-2,-1)\}

Ce qui conclut cet exemple sur le calcul des racines d’un nombre complexe.