Dans cet article, nous allons nous intéresser à la notion d’affixe en mathématiques. C’est une notion important lorsqu’on parle des nombres complexes et qui permet de lui donner un aspect géométrique. Nous allons donc bien la définir et faire quelques exercices corrigés
Prérequis
Définition de l’affixe
On prend (O,\vec{u},\vec{v}) un repère. Soit z = a+ib, a,b \in \R. Alors z est l’affixe du point de coordonnées (a,b) .
Si M est le point de coordonnées (a,b) alors on note souvent son affixe z_M
Exemples
- Le complexe 1+2i est l’affixe de point (1,2)
- Le point de coordonnées (4,3) a pour affixe 4+3i
Propriétés
Voici quelques propriétés autour de l’affixe :
- L’affixe du milieu du segment [AB] est \dfrac{z_A+z_B}{2}
- Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour affixe z_B - z_A
- L’affixe du vecteur \vec{u} + \vec{v} est z_u + z_v
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé
- Soit A le point d’affixe 1+2i
- Soit B le point d’affixe 5+3i
- Soit C le point d’affixe 2+5i
Trouver l’affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme
Corrigé
Pour avoir un parallélogramme, il faut que \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} ce qui se réécrit en terme d’affixe : z_B - z_A = z_C - z_D . On résoud alors l’équation obtenue :
\begin{array}{ll}
& z_B - z_A = z_C - z_D\\
\iff & z_D = z_C -z_B +z_A\\
\iff & z_D = 2+5i -(5+3i) + 1+2i \\
\iff & z_D = -2+4i \\
\end{array} Exercice 2
Enoncé
Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que \dfrac{z-i}{z+i} soit un réel.
Corrigé
On pose z = a+ib et on cherche à isoler la partie imaginaire :
\begin{array}{ll}
\dfrac{z-i}{z+i} &= \dfrac{x+iy-i}{x+iy+i} \\
&= \dfrac{x+iy-1}{x+i(y+1)} \\
&= \dfrac{x-1+iy)}{x+i(y+1)} \\
&= \dfrac{(x-1+iy)(x-i(y+1))}{(x+i(y+1))(x-i(y+1))} \\
&= \dfrac{x^2-x-i(x-1)(y+1)+iyx+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} \\
&= \dfrac{x^2-x-ixy-ix+iy+i+iyx+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} \\
&= \dfrac{x^2-x+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} + i\dfrac{-x+y+1}{x^2+(y+1)^2} \\
\end{array}C’est donc un réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. On a alors -x+y+1 = 0 \iff y = x-1 . On obtient donc une droite.
Exercice 3
Enoncé
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, déterminer l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que i + \dfrac{1}{z} soit imaginaire pur.
Corrigé
On remarque que i + \dfrac{1}{z} est imaginaire pur si et seulement si \dfrac{1}{z} est imaginaire pur. Dans ce cas, en posant z= x+iy , on a :
\dfrac{1}{x+iy} = \dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} = \dfrac{x}{x^2+y^2} - i \dfrac{y}{x^2+y^2}Ainsi, cette quantité étant un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, on a alors que i + \dfrac{1}{z} est imaginaire pur si et seulement si z est imaginaire pur, autrement dit x= 0 dans l’équation ci-dessus.
