Loi normale : Cours et exercices corrigés

La loi normale est une des lois de probabilité la plus connue. On l’appelle aussi la “gaussienne”. Découvrons ensemble cette loi de probabilité !

Prérequis

• La fonction exponentielle
• Loi de Poisson
• Cet exercice corrigé qui va nous aider dans les calculs

Définition

La loi normale est une loi de probabilité définie sur les réels définie par 2 paramètres notés μ et σ². Elle a pour univers l’ensemble des réels.

La loi normale de paramètres μ et σ² est notée

\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

Elle est aussi appelée loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi normale est

\varphi(t) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi normale ne s’exprime pas avec les fonctions usuelles. On l’exprime à partir de la fonction erreur notée erf qui est définie par

erf(x) = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}dt

A partir de cette fonction, on peut écrire sa fonction de répartition avec

\dfrac{1}{2} \left( 1 + erf \left(  \dfrac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)

Propriétés

Tout d’abord, on a :

\lim_{x \to \pm \infty}x^{n+2}\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} dx = 0

Donc,

\lim_{x \to \pm \infty}x^{n}\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} dx = o \left(\frac{1}{x^2} \right)

Ce qui nous justifie l’existence des calculs qui vont suivre.

Espérance de la loi normale

L’espérance de la loi normale de paramètre μ et σ² vaut μ. En voici la démonstration, par un calcul direct via l’intégrale. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} dx\\
&=_{t =\frac{x-\mu}{\sigma}}\displaystyle   \int_{-\infty}^{+\infty} (t+\mu)\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt\\
&=\displaystyle   \int_{-\infty}^{+\infty}t\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt+\mu \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt\\
&=\displaystyle   \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left[-e^{-\frac{1}{2}t^2}\right]_{-\infty}^{+\infty}  dt+\mu \\
&= \mu
\end{array}

Ce qui est bien le résultat recherché.

Variance de la loi normale

La variance de la loi normale vaut σ². Là aussi, on va faire un calcul direct. On fait une intégration par parties :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) & = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^2\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} dx\\
 & =_{t = \frac{x-\mu}{\sigma}} \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma t+\mu)^2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt\\
 & = \displaystyle\sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty} t^2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt+2\mu\sigma\int_{-\infty}^{+\infty} t\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt+\mu^2\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt\\
 & = \displaystyle \sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty} t^2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt+\mu^2\\
 & = \displaystyle \sigma^2\left[ \dfrac{t}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} \right]_{-\infty}^{+\infty}+\sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt+\mu^2\\
& = \sigma^2 + \mu^2
\end{array}

Pour le calcul de :

\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt = 1 

Je vous conseille d’aller voir cet article qui en fait le calcul.

On a donc finalement :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2\\
& =\mu^2 + \sigma^2 - \mu^2 \\
&= \sigma^2
\end{array}

Ce qui nous donne bien la valeur de la variance recherchée !

Loi normale centrée réduite

Si X suit une loi normale, alors on dit qu’elle est une loi normale centrée réduite si et seulement si μ = 0 et σ² = 1. Si

X \sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)

Alors

\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)

Réciproquement, si

X\sim \mathcal{N}(0,1)

Alors

\sigma X + \mu \sim \mathcal N (\mu, \sigma^2)

Lien avec la loi de Poisson

Pour de grandes valeurs de λ, on peut approcher la loi de normale de moyenne λ et de variance λ par la loi de Poisson de paramètre λ.

Autres propriétés

Si X est une loi normale centrée réduite, elle est symétrique :

\forall a \in \R, \mathbb{P}(X \geq a) = \mathbb{P}(X \leq -a)

On a aussi les propriétés suivantes, utiles en pratique :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(- \sigma \leq X -\mu \leq \sigma) \approx 68 \%\\
\mathbb{P}(- 2\sigma \leq X -\mu \leq 2\sigma) \approx 95 \%\\
\mathbb{P}(- 3\sigma \leq X -\mu \leq 3\sigma) \approx 99,7 \%
\end{array}

Pour être plus précis, on peut remplacer 2 par 1,96

Exercices corrigés de loi normale

Exercice 1 – Bac centres étrangers juin 2014

Enoncé :

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont premier prix, et les autres sont haut de gamme. Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur. Ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.
D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas premier prix vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ=750 et d’écart-type σ=25.

1. Calculer \mathbb{P}(725\leq X\leq 775)
2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas premier prix qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05.  On ne réalimente pas le stock en cours de mois.
   Déterminer la plus petite valeur de l’entier n remplissant cette condition.

Corrigé :
Question 1
On utilise la formule juste au dessus. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(725 \leq X \leq 775) &= \mathbb{P}(\mu -  \sigma\leq X \leq\mu +  \sigma)\\
&=  \mathbb{P}( -  \sigma\leq X-\mu \leq \sigma)\\
&\approx68 \%
\end{array}

Question 2
On cherche la valeur de n telle que

\mathbb{P}(X >n ) = 0,05

C’est équivalent à chercher n tel que

\mathbb{P}(X \leq n) = 0,95

A la calculatrice, on trouve n =792. (Il faut bien arrondir par excès)

Exercice 2

Enoncé :

On a observé que la taille des basketteurs T, en cm, suit la loi normale N(190;36).

1. Déterminer sans calcul, un intervalle dans lequel la taille d’un basketteur pris au hasard
   a environ 68% de chances de se trouver.
2. Un sélectionneur décide de choisir des basketteurs. Pour cela, il cherche un intervalle centré en 190,
   dans lequel la taille d’un basketteur a 95% de chances de se retrouver. Déterminer cet intervalle.

Corrigé :
Question 2
On sait que

\mathbb{P}(-\sigma \leq X - \mu \leq \sigma ) \approx 68 \%

Donc

68 \%\approx\mathbb{P}(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+ \sigma ) = \mathbb{P}(184 \leq X \leq 196 ) 

L’intervalle recherché est donc [184;196]

Question 1
On sait que

\mathbb{P}(-2\sigma \leq X - \mu \leq 2\sigma ) \approx 95 \%

D’où

95 \%\approx\mathbb{P}(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma ) = \mathbb{P}(178 \leq X \leq 202 )

L’intervalle recherché est donc [178;202]

Enoncés d’exercices de loi normale

Exercice 1 – Polynésie Juin 2015

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X₁ suivant la loi normale d’espérance μ₁=165 cm et d’écart-type σ₁=6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X₂ suivant la loi normale d’espérance μ₂=175 cm et d’écart-type σ₂=11 cm.

Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.

1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ?
2. a. Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.
   b. De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52% de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de 1,70 m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

Exercice 2 – Nouvelle-Calédonie mars 2016

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre 9,9 et 10,1 grammes.
On dispose de deux machines M₁ et M₂ pour produire les médailles.

1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu’une machine M₁ produit des médailles dont la masse X en grammes suit la loi normale d’espérance 10 et d’écart-type 0,06.
   On note C l’événement “la médaille est conforme”.
   Calculer la probabilité qu’une médaille produite par la machine M₁ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à 10−3 près.
2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M₁ étant jugée trop importante, on utilise une machine M₂ qui produit des médailles dont la masse Y en grammes suit la loi normale d’espérance μ=10 et d’écart-type σ.
3. Soit Z la variable aléatoire égale à (Y–10)/σ. Quelle est la loi suivie par la variable Z ?
4. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de σ.

Exercice 3

Une étude a permis de révéler que le retard d’un train, en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance 5.
10% des trains ont plus de 15 minutes de retard. Déterminer l’écart-type σ à 10⁻² près.

Exercice 4

Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm. Les erreurs d’usinage provoquent des variations de diamètre. On estime, sur les données antérieures, que l’erreur est une variable aléatoire qui obéît à une loi normale, les paramètres étant : moyenne : 0mm, écart-type : 0.02mm. On rejette les pièces dont le diamètre n’est pas compris entre 7.97mm et 8.03mm. Quelle est la proportion de billes rejetées ?

Exercice 5

Des machines fabriquent des crêpes destinées à être empilées dans des paquets de 20. Chaque crêpe a une épaisseur qui suit une loi normale de paramètres m = 0.6mm et σ = 0.1. Soit X la variable aléatoire «épaisseur du paquet en mm». Calculez la probabilité pour que X soit compris entre 12.6 mm et 13.2 mm

Exercice 6

X suit la loi normale N(20; 5). Déterminer la valeur du nombre a à 10⁻² près dans chaque cas.

1. P(X ≤ a) = 0, 99
2. P(X ≤ a) = 0, 01

Exercice 7

Jean a du mal à gérer son compte en banque. La somme qu’il a sur son compte est donnée X par une variable aléatoire X suivant une loi normale N(0,1). On arrondira la résultats à 10^-3 près.

1. Déterminer la probabilité que le compte de Jean soit à découvert.
2. Déterminer la probabilité que Jean ait entre 200 et 500 euros
3. Déterminer la probabilité que Jean soit à découvert entre 200 et 500 euros
4. Si Jean est à découvert, il reçoit un SMS. Déterminer la probabilité que Jean ait plus de 500 euros de découvert sachant qu’il a reçu un SMS.