Argument d’un nombre complexe : Cours, propriétés, exercice corrigé

Dans cet article nous allons introduire la notion d’argument d’un nombre complexe, qui est à mettre en parallèle avec la notion de module.

Prérequis

• Affixe d’un nombre complexe
• Module d’un nombre complexe
• La notion de quadrant

Définition

Soit z = x+iy \neq 0 un nombre complexe. Un argument de ce complexe z est l’angle entre la demi-droite positive des abscisses. On note \arg(z) l’argument de z. On le note souvent \theta

Sur cette illustration ci-dessous, \alpha est donc un argument du point A d’affixe z.

Propriétés

On note z un complexe, x sa partie réelle, y sa partie imaginaire et \theta

• \arg(z) est donc défini à 2 \pi près. Autrement dit, si \theta est un argument de z, \theta + 2k\pi où k est un entier relatif l’est aussi. On ne dit donc pas “l’argument de z” mais “UN argument de z”.
• 0 n’a pas d’argument
• Si \arg(z) \in ]- \pi; \pi] alors on parle d’argument principal

On a aussi ces propriétés, on note z’ un second complexe non nul :

• \arg(z.z' ) = \arg(z) + \arg(z')
• \arg(z^n) = n \arg(z)
• \arg \left(\dfrac{1}{z} \right) = - \arg(z)
• \arg \left(\dfrac{z}{z'} \right) = \arg(z)- \arg(z')
• Si k >0, \arg (kz) = \arg(z)
• Si k <0, \arg (kz) = \arg(z)+ \pi

Calcul de l’argument

• On a \tan(\theta) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}= \dfrac{y}{x}

Il faut alors retenir la règle suivante pour calculer l’argument principal \theta :

• Si la représentation graphique de z se situe dans le premier ou quatrième quadrant, alors \theta = \arctan\left( \dfrac{y}{x}\right)
• Si la représentation graphique de z se situe dans le deuxième quadrant, alors \theta = \arctan\left( \dfrac{y}{x}\right) + \pi
• Finalement, si la représentation graphique de z se situe dans le troisième quadrant, alors \theta = \arctan\left( \dfrac{y}{x}\right) - \pi

Aussi :

• Si z = iy avec y >0 alors \theta = \dfrac{\pi}{2}
• Si z = iy avec y <0 alors \theta =- \dfrac{\pi}{2}

On remarque aussi que :

• \cos (\theta) = \dfrac{x }{|z|}
• \sin (\theta) = \dfrac{y }{|z|}
• On en tire alors la formule

z = |z| (\cos(\theta) + i \sin(\theta))

De plus, il existe une formule qui relie partie réelle, partie imaginaire et argument principal \theta, si celui-ci ne vaut pas \pi :

\theta = 2 \arctan\left( \dfrac{y}{x + \sqrt{x^2+y^2}}\right)

Exercice corrigé

Enoncé

Soit z = 1 - i \sqrt{3} , déterminer l’argument principal de z.

Corrigé

Premier élément, on a \tan(\theta) = -sqrt{3}. On connaît donc \theta à \pi près.

Or, la partie réelle (qui vaut 1) est positive, donc l’argument principal est compris entre - \dfrac{\pi}{2} et \dfrac{\pi}{2}. Ainsi, \theta = \arctan(- \sqrt{3} )= -\dfrac{\pi}{3}