Comment montrer que deux espaces vectoriels sont supplémentaires ? Dans cet article nous allons répondre à cette question, tant en dimension finie qu’en dimension potentiellement infinie !
Espaces vectoriels supplémentaires en dimension quelconque
Pour toute la suite, on va disposer d’un espace vectoriel E et deux sous-espaces vectoriels F et G. On dit que deux espaces sont supplémentaires si et seulement si \forall x \in E, \exists ! y \in F, z \in G, x = y+z . On note E = F \bigoplus G .
En dimension quelconque, on va même donner les résultats pour E_1, \ldots, E_n n sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- E = E_1 \bigoplus \ldots \bigoplus E_n
- \forall (u_1, \ldots, u_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n, \displaystyle \sum_{i=1}^n u_i = 0 \iff u_1 = \ldots = u_n = 0
- \forall x \in E, \exists ! (u_1, \ldots, u_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n, x = \displaystyle \sum_{i=1}^n u_i
En pratique, c’est souvent le troisième point qu’on va montrer.
Espaces vectoriels supplémentaires en dimension finie
F et G sont deux espaces vectoriels supplémentaire vérifiant E, si on peut vérifier 2 de ces 3 conditions :
- \dim(E) = \dim(F)+\dim(G). Il faut donc bien connaitre les espaces en question pour connaitre leurs dimensions. Connaitre une base de chacun peut par exemple être suffisant, mais ce n’est pas le cas le plus courant.
- F \cap G = \{0 \} . En pratique, on prend x \in F \cap G et on prend les caractéristiques de F et de G pour démontrer que nécessairement ce x vaut G.
- E = F+G , ce qui signifie que \forall x \in E, \exists y \in F, z \in G, x = y +z
Très souvent, on ne connait pas les dimensions et on va plutôt démontrer les points 2 et 3.
Bonus : Dans un espace préhilbertien, on a E = F \bigoplus F^{\perp}
Exercice corrigé
Un grand classique est que les matrices symétriques et antisymétriques sont supplémentaires. Il s’agit de l’exercice 571 :
Pour cela, on va d’abord calculer l’intersection. Soit M \in \mathcal{S}_n \cap \mathcal{A}_n . D’une part, M est symétrique. On a donc, M = {}^t M . D’autre part, M est antisymétrique et donc M = -{}^t M . Ainsi, M = -{}^tM = - M . D’où 2M = 0 et donc M = 0 (ce qui est vrai si on n’est pas dans un corps de caractéristique 2)
D’autre part, on remarque que \dfrac{M+{}^tM}{2} est symétrique et \dfrac{M-{}^tM}{2} est antisymétrique. Or, M= \dfrac{M+{}^tM}{2}+ \dfrac{M-{}^tM}{2}. On a donc écrit M sous la forme de la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
De part ces deux points, on peut conclure que \mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \bigoplus \mathcal{A}_n. Ces deux espaces vectoriels sont donc supplémentaires.
