L’union et l’intersection en théorie des ensembles

L’union et l’intersection sont deux opérations fondamentales en théorie des ensembles. Elles permettent de combiner des ensembles de différentes manières pour créer de nouveaux ensembles. Dans cet article, nous allons explorer ces deux concepts en détail.

Définition de l’union

L’union de deux ensembles A et B, notée A \cup B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux). Mathématiquement, cela s’écrit :

A \cup B = \{x | x \in A \text{ ou } x \in B\}

Par exemple, si A = \{1, 2, 3\} et B = \{2, 3, 4\}, alors A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}.

On peut aussi définir une union de n ensembles. Soient A_1, \ldots A_n n ensembles. On a alors :

\begin{array}{rl}
\displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i & = A_1 \cup \ldots \cup A_n\\
&  = \{ x | x \in A_1  \text{ ou } \ldots \text{ ou } x \in A_n \} 
\end{array}

Définition de l’intersection

L’intersection de deux ensembles A et B, notée A \cap B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Mathématiquement, cela s’écrit :

A \cap B = \{x | x \in A \text{ et } x \in B\}

Par exemple, si A = \{1, 2, 3\} et B = \{2, 3, 4\}, alors A \cap B = \{2, 3\}.

On peut aussi définir une intersection de n ensembles. Soient A_1, \ldots A_n n ensembles. On a alors :

\begin{array}{rl}
\displaystyle \bigcap_{i=1}^n A_i & = A_1 \cap \ldots \cap A_n\\
&  = \{ x | x \in A_1  \text{ et } \ldots \text{ et } x \in A_n \} 
\end{array}

Exemples

Prenons quelques exemples pour illustrer l’union et l’intersection.

• Exemple 1 : Si A = \{a, b, c\} et B = \{b, c, d\}, alors A \cup B = \{a, b, c, d\} et A \cap B = \{b, c\}.
• Exemple 2 : Si A = \{1, 2, 3, 4, 5\} et B = \{4, 5, 6, 7, 8\}, alors A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} et A \cap B = \{4, 5\}.

Propriétés

Voici quelques propriétés fondamentales de l’union et de l’intersection des ensembles :

1. Idempotence : Pour tout ensemble A, A \cup A = A et A \cap A = A. Un ensemble uni ou intersecté avec lui-même donne le même ensemble.
2. Associativité : \forall A,B,C, (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) et (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C). L’ordre dans lequel les ensembles sont unis ou intersectés ne change pas le résultat.
3. Commutativité : \forall A,B, A \cup B = B \cup A et A \cap B = B \cap A. L’ordre des ensembles dans l’union ou l’intersection n’affecte pas le résultat.
4. Distributivité :\forall A,B,C, A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) et A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C). L’union distribue sur l’intersection, et l’intersection distribue sur l’union.
5. Lois de De Morgan : On les énonce de cette manière. \forall A,B, {}^C (A \cup B)= {}^C A \cap {}^C B et aussi dans l’autre sens {}^C (A \cap B) = {}^C A \cup {}^C B .

Ces propriétés sont fondamentales en théorie des ensembles et sont largement utilisées dans les preuves et les démonstrations mathématiques. Je vous laisse réfléchir à comment on peut les adapter à n ensembles.

Applications

En probabilités, on a la formule suivante faisant intervenir union et intersection. Si A et B sont deux évènements :

\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) -\mathbb{P}(A\cap B)

On a aussi cette formule avec le cardinal de 2 ensembles A et B :

\text{card}(A \cup B) =\text{card}(A) +\text{card}(B) -\text{card}(A\cap B)

Pour des applications, on a cette formule-là avec f(A) l’image de A : f(A) = \{ f(x) | x \in A \} :

f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) 

Par contre, on n'a pas de manière générale :

f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) 

Je vous laisse trouver un contre-exemple ou me le demander en commentaire si vous bloquez !