Dans cet article, nous allons vous présenter la notion d’équation bicarrée avec sa méthode de résolution, vous allez voir c’est assez simple.
Prérequis
La résolution des équations du second degré est un prérequis pour cet article
Cours
Soient a,b,c trois réels. Une équation bicarrée est une équation de la forme
ax^4+bx^2+c = 0
Résolution
La résolution est assez simple. Il suffit de considérer y = x^2 . Avec ce changement, on a
a(x^2)^2 +bx^2 +c = 0 \iff ay^2 +by+c=0
On se ramène donc à une équation du second degré. On la résout de manière tout à fait classique et on obtient 0, 1 ou 2 solutions, qu’on va noter r_1 et éventuellement r_2.
Mais il ne faut pas s’arrêter là, car on a trouvé y pour le moment et ce que l’on cherche c’est x. On va alors résoudre y= x^2 d’inconnue x. Selon la valeur de y, on a 0, 1 ou 2 solutions.
A la fin, on a donc entre 0 et 4 solutions !
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Résoudre l’équation x^4+ 3x^2 +2=0 sur \R
Corrigé : On pose y = x^2 . On se ramène alors à l’équation :
y^2 + 3 y+2 = 0
On calcule alors \Delta = 3^2 - 2 \times 4 \times 1 = 1 . On trouve alors 2 solutions pour y
\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{-3-1}{2} = -2\\
r_2 = \dfrac{-3+1}{2} = -1
\end{array}On cherche alors à résoudre y ^2 = -1 et y ^2 =-2. Ces deux équations n’ont pas de solution car y ^2 \geq 0 .
L’équation n’a donc pas de solution réelle
Exercice 2
Enoncé : Résoudre sur \R l’équation x^4 - 6x^2 + 5=0 .
Corrigé : On pose y = x^2 . On se ramène donc à l’équation
y^2 - 6y + 5 = 0
On obtient ensuite \Delta = 6^2 -4 \times 5 \times 1 =16. On a ensuite 2 solutions :
\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{6-4}{2} = 1\\
r_2 = \dfrac{6+4}{2} = 5
\end{array}On a alors 2 équations à résoudre : y^2 =1 et y ^2 =5 . On obtient alors
\begin{array}{ll}
&y^2 =1\\
\iff & y^2 -1 =0 \\
\iff & (y-1)(y+1)= 0\\
\iff & y \in \{-1,1\}
\end{array}Puis
\begin{array}{ll}
&y^2 =5\\
\iff & y^2 -5 =0 \\
\iff & (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5})= 0\\
\iff & y \in \{-\sqrt{5},\sqrt{5} \}
\end{array}On a donc 4 solutions \mathcal{S} = \{-\sqrt{5},-1,1,\sqrt{5}\}
Exercice 3
Enoncé : Résoudre y^4 -4y^2 +4=0
Corrigé : Ici, pas besoin de changement de variable en particulier. En effet, on remarque qu’on a une identité remarquable :
y^4 -4y^2 +4= (y^2 - 2)^2
A partir de là, on a :
(y^2 -2)^2 = 0 \iff y^2 -2 =0 \iff y \in \{ -\sqrt{2}, \sqrt{2}\}Ce qui va constituer nos deux solutions
