Sous-espace vectoriel : Cours et exercices corrigés

Un sous-espaces vectoriel est quelque chose de très pratique. En général, lorsqu’on veut montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel on ne montre pas tous ses axiomes. On va plutôt montrer qu’il est le sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu. Vous allez voir, c’est beaucoup plus simple !

Prérequis

• Espaces vectoriels

Cours

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel. F est un sous-espace vectoriel (parfois noté s.e.v) de E si et seulement si :

• F \subset E
• 0 \in F . Mais en fait cela revient à dire que F n’est pas vide.
• \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x,y \in F, \lambda x \in F, x+y \in F ce qui peut se résumer en \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x,y \in F, \lambda x+y \in F

Propriétés

• Cela peut sembler évident : un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel
• L’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel
• De manière générale, l’union de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel (voir vidéo ci-dessous)
• Par contre, la somme de deux sous-espaces vectoriels est un sous espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels. On définit F+G par F+G = \{ x+y, x \in F, y \in G \} . De manière analogue, on peut définir la somme de n sous-espaces vectoriels.

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé :

Corrigé :

Exercice 2

Enoncé : Les ensemble suivants sont-ils des espaces vectoriels ?

\begin{array}{l}
E_1 = \{ x,y,z \in \R^3, x+y+z = 0 \}\\
E_2 = \{ f \in \mathcal{F}(\R,\R), f(0) = 1 \}\\
E_3 = \{ x,y \in \R^2, x^2+y^2 = 0 \}\\
E_4 = \{ x,y \in \R^2, x^2-y^2 = 0 \}\\
E_5 = \{ P\in \R[X], P' = 6 \}\\
\end{array}

Corrigé : E₁ : On a :

• E_1 \subset \R^3
• (0,0,0) \in E_1
• \forall \lambda \in \R, \forall (x,y,z),(x',y',z') \in E_1, \lambda x+x' + \lambda y +y' +\lambda z + z' = \lambda(x+y+z)+x'+y'+z' = \lambda.0 +0 = 0

Donc E_1 est un sous-espace vectoriel de \R^3

E₂ : La fonction nulle ne fait pas partie de l’ensemble donc ce n’est pas un espace vectoriel

E₃ : La seule solution de cette équation est (0,0). Or {(0,0)} est un espace vectoriel donc cela suffit pour conclure.

E₄ : x=(1,1) et y=(1,-1) font partie de E_4 mais x+y = (2,0) ne fait pas partie de E_4 donc ce n’est pas un espace vectoriel

E₅ : Le polynôme nul ne fait pas partie de l’ensemble donc ce n’est pas un espace vectoriel