Tu cherches un sujet de grand oral en mathématiques autour des probabilités ? Tu es au bon endroit. Dans cet article, tu trouveras 8 idées de sujets, chacune avec une problématique possible, un plan suggéré et le niveau de difficulté. Tous ces sujets sont accessibles au niveau terminale et permettent de montrer que les probabilités ne sont pas qu’un chapitre abstrait du programme : elles interviennent dans l’aviation, la médecine, les jeux de hasard et même les réseaux sociaux.
Ces 8 sujets sont d’ailleurs tous développés dans mon livre 30 Sujets de Grand Oral Maths, avec un développement complet, des questions de jury et des conseils de présentation pour chacun.
Tu cherches des sujets plus variés, au-delà des probabilités ? Consulte notre article complet :
Le surbooking
Problématique possible : Comment les compagnies aériennes utilisent-elles les probabilités pour optimiser le remplissage de leurs avions ?
Chapitres abordés : Loi binomiale
Le surbooking est une pratique courante dans l’aérien : les compagnies vendent plus de billets que de places disponibles, en pariant sur le fait qu’une partie des passagers ne se présenteront pas. Ce sujet fait appel à la loi binomiale et permet de montrer comment les mathématiques interviennent dans des décisions économiques concrètes.
Ce que tu peux aborder :
- Le problème concret : pourquoi les compagnies acceptent-elles de surréserver ?
- La modélisation avec la loi binomiale : chaque passager a une probabilité p de se présenter, et on étudie X \sim \mathcal{B}(n, p) où n est le nombre de billets vendus
- Le calcul du risque de refus d’embarquement : P(X > C) où C est la capacité de l’avion
- Le compromis entre rentabilité (vendre plus de billets) et satisfaction client (éviter le refus d’embarquement)
Exemple chiffré : un avion de 200 places avec 207 billets vendus et une probabilité de présence p = 0{,}95. On calcule P(X > 200) avec X \sim \mathcal{B}(207;\, 0{,}95). La probabilité de refus d’embarquement est d’environ 10 %.
Les cotes des paris sportifs
Problématique possible : Comment les bookmakers fixent-ils les cotes, et quel rôle jouent les probabilités dans les paris sportifs ?
Chapitres abordés : Probabilités de base
Les paris sportifs sont un excellent terrain d’application des probabilités. Une cote de 4 contre 1 signifie que le bookmaker estime la probabilité de victoire à environ \frac{1}{4} = 25\%. Mais en réalité, la somme des probabilités implicites dépasse toujours 100 % : c’est la marge du bookmaker.
Ce que tu peux aborder :
- Le lien entre cote et probabilité : si la cote est c, la probabilité implicite est \frac{1}{c}
- La marge du bookmaker (overround) : pourquoi la somme des probabilités implicites dépasse 100 %
- La notion d’espérance de gain et pourquoi un parieur régulier perd en moyenne
- Les « value bets » : quand la probabilité réelle dépasse la probabilité implicite de la cote
Exemple chiffré : pour un match de football, les cotes sont 2,10 (victoire A), 3,40 (nul) et 3,20 (victoire B). Les probabilités implicites sont \frac{1}{2{,}10} + \frac{1}{3{,}40} + \frac{1}{3{,}20} \approx 47{,}6\% + 29{,}4\% + 31{,}3\% = 108{,}3\%. La marge du bookmaker est d’environ 8,3 %.
Le paradoxe des anniversaires
Problématique possible : Pourquoi suffit-il de 23 personnes pour avoir plus d’une chance sur deux que deux d’entre elles partagent le même anniversaire ?
Chapitres abordés : Dénombrement, probabilités
Ce paradoxe est un classique des probabilités. Notre intuition nous dit qu’il faudrait beaucoup de personnes (on pense souvent à 183, la moitié de 365), mais le calcul montre qu’avec seulement 23 personnes, la probabilité dépasse 50 %. C’est un sujet très apprécié au grand oral car il surprend le jury et permet de montrer la puissance du calcul face à l’intuition.
Ce que tu peux aborder :
- L’erreur d’intuition : pourquoi on surestime le nombre nécessaire
- Le calcul par le complémentaire : la probabilité que toutes les dates soient différentes est \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365-n+1}{365}
- Le passage au-delà de 50 % pour n = 23
- Les applications concrètes : en informatique (attaque des anniversaires en cryptographie), en gestion de bases de données (collisions de clés)
Exemple chiffré : avec 23 personnes, P(\text{au moins une coïncidence}) = 1 - \frac{365!}{(365-23)! \times 365^{23}} \approx 50{,}73\%. Avec 50 personnes, la probabilité dépasse 97 %.
Le paradoxe de Simpson
Problématique possible : Comment une tendance peut-elle s’inverser quand on agrège des données ?
Chapitres abordés : Statistiques, probabilités conditionnelles
Le paradoxe de Simpson est un phénomène statistique troublant : un traitement médical peut sembler plus efficace dans chaque sous-groupe de patients, mais moins efficace globalement (ou l’inverse). Ce paradoxe a des conséquences réelles en médecine, en justice et dans l’interprétation de données économiques.
Ce que tu peux aborder :
- Un exemple concret (taux de réussite d’un traitement par groupe d’âge) où la tendance s’inverse quand on fusionne les données
- L’explication mathématique : les proportions de chaque [groupe](https://progresser-en-maths.com/theorie-des-groupes/) diffèrent entre les deux situations comparées (variable confondante)
- Le lien avec les probabilités conditionnelles : conditionner par la bonne variable change le résultat
- Les implications pratiques : pourquoi il ne faut pas agréger aveuglément des données
Exemple chiffré : dans un essai clinique, le traitement A guérit 90 % des cas bénins (90/100) et 50 % des cas graves (100/200), soit un taux global de \frac{190}{300} \approx 63\%. Le traitement B guérit 80 % des cas bénins (160/200) et 40 % des cas graves (40/100), soit un taux global de \frac{200}{300} \approx 67\%. A est meilleur dans chaque sous-groupe (90 % > 80 % et 50 % > 40 %), mais B est meilleur globalement (67 % > 63 %). L’explication : A est surtout testé sur les cas graves (200/300), tandis que B est surtout testé sur les cas bénins (200/300).
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg
Problématique possible : Comment un jeu de hasard peut-il avoir une espérance de gain infinie tout en ne valant pas grand-chose en pratique ?
Chapitres abordés : Suites, espérance
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg, proposé par Daniel Bernoulli en 1738, met en lumière les limites de l’espérance comme critère de décision. Le jeu est simple : on lance une pièce jusqu’à obtenir pile, et le gain est 2^n euros si pile apparaît au n-ième lancer. L’espérance est infinie, mais personne ne paierait une fortune pour y jouer.
Ce que tu peux aborder :
- La description du jeu et le calcul de l’espérance : E = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \times 2^n = \sum_{n=1}^{+\infty} 1 = +\infty
- Pourquoi personne ne paierait 1 000 euros pour jouer (aversion au risque)
- La solution de Bernoulli : l’utilité logarithmique, où le gain subjectif est \ln(2^n) et non 2^n
- Les connexions avec la loi des grands nombres : l’espérance n’a de sens que si le jeu est répété
Encore un paradoxe ! Mais il peut faire un bon sujet de grand oral. Pas forcément simple à comprendre quand on le lit au premier abord, mais c’est assez fluide quand on le relit. Découvrez donc le paradoxe de Saint-Pétersbourg
Le théorème de Bayes en médecine
Problématique possible : Pourquoi un test médical positif ne signifie-t-il pas forcément que le patient est malade ?
Chapitres abordés : probabilités conditionnelles, arbre pondéré
Le théorème de Bayes est l’un des résultats les plus importants des probabilités, et son application au dépistage médical est spectaculaire. Un test peut être fiable à 99 % et pourtant donner un résultat faux positif dans la majorité des cas, si la maladie est rare. C’est un sujet idéal pour le grand oral car il est contre-intuitif et a des implications directes sur les politiques de santé publique.
Ce que tu peux aborder :
- Le théorème de Bayes : P(M \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid M) \times P(M)}{P(T^+)}
- La sensibilité (taux de vrais positifs) et la spécificité (taux de vrais négatifs) d’un test
- Le rôle crucial de la prévalence P(M) : plus la maladie est rare, plus les faux positifs dominent
- L’arbre pondéré comme outil de calcul et de visualisation
Exemple chiffré : un test de sensibilité 99 % et spécificité 95 % appliqué à une maladie de prévalence 1/1000. Sur 100 000 personnes : 100 malades dont 99 détectés, mais 99 900 sains dont 4 995 faux positifs. La probabilité d’être réellement malade sachant un test positif est \frac{99}{99 + 4995} \approx 1{,}94\%, bien loin des 99 % attendus.
Pour approfondir, consulte notre article sur les probabilités conditionnelles
La loi des grands nombres
Problématique possible : Pourquoi la fréquence observée d’un événement se rapproche-t-elle de sa probabilité théorique quand on répète l’expérience un grand nombre de fois ?
Chapitres abordés : suites
La loi des grands nombres est l’un des piliers de la théorie des probabilités. Elle justifie pourquoi les compagnies d’assurance peuvent prédire leurs coûts, pourquoi les sondages fonctionnent, et pourquoi le casino gagne toujours à long terme. Ce sujet permet de faire le lien entre probabilités et statistiques, et d’aborder la notion de convergence.
Ce que tu peux aborder :
- L’énoncé intuitif : la moyenne empirique converge vers l’espérance quand n \to +\infty
- Une illustration concrète : lancer un dé n fois et observer la moyenne des résultats tendre vers 3{,}5
- Les applications : assurances, sondages, casinos
- La confusion fréquente avec la « loi des petits nombres » (croire qu’après 10 piles, face est « due »)
Le paradoxe du chevalier de Méré
Problématique possible : Comment un problème de jeu au XVIIe siècle a-t-il donné naissance au calcul des probabilités ?
Chapitres abordés : dénombrement, probabilités
Le chevalier de Méré, joueur passionné du XVIIe siècle, avait observé qu’il gagnait de l’argent en pariant sur l’apparition d’au moins un 6 en 4 lancers de dé, mais qu’il en perdait en pariant sur au moins un double-6 en 24 lancers de deux dés. Il pensait que les deux paris étaient équivalents, et c’est en soumettant ce problème à Blaise Pascal que le calcul des probabilités est né.
Ce que tu peux aborder :
- Le premier pari : P(\text{au moins un 6 en 4 lancers}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 51{,}77\%
- Le second pari : P(\text{au moins un double-6 en 24 lancers}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 49{,}14\%
- Pourquoi le raisonnement proportionnel du chevalier de Méré est faux
- Le contexte historique : la correspondance Pascal-Fermat (1654) et la naissance des probabilités
D’autres idées de sujets avec des probabilités
Tu n’as pas trouvé ton bonheur dans les sujets ci-dessus ? Voici d’autres pistes qui utilisent les probabilités :
- Les marches aléatoires : un ivrogne part de l’origine et fait un pas à gauche ou à droite avec la même probabilité. Revient-il toujours à son point de départ ? (Réponse : oui en 1D et 2D, non en 3D.)
- Le problème de Monty Hall : dans un jeu télévisé avec 3 portes, faut-il changer de porte quand le présentateur en ouvre une ? Les probabilités conditionnelles
- La ruine du joueur : un joueur avec un capital initial joue à un jeu légèrement défavorable. Quelle est la probabilité qu’il fasse faillite ? (Réponse : elle tend vers 1.)
- Les files d’attente : combien de temps attend-on en moyenne à la caisse d’un supermarché ? Les processus de Poisson permettent de modéliser ce problème.
Ces 8 sujets sont dans mon livre
Tous les sujets de cet article y sont repris et entièrement rédigés : développement complet, encadré « Pour ton Grand Oral » avec plan minuté et questions du jury, conseils de présentation. Tu y trouveras aussi 22 autres sujets pour avoir l’embarras du choix.
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Choisis un sujet qui te passionne et que tu peux expliquer clairement en 5 minutes. Le paradoxe des anniversaires et le surbooking sont les plus accessibles (loi binomiale). Le théorème de Bayes en médecine est plus original et impressionne souvent le jury. Évite les sujets trop techniques pour lesquels tu ne maîtrises pas les outils mathématiques.
Une structure classique en 3 parties fonctionne bien : (1) présenter le contexte et la problématique, (2) développer le modèle mathématique avec un exemple chiffré, (3) conclure en expliquant les limites du modèle ou les applications concrètes. Prévois environ 2 minutes par partie.
Ce n’est pas obligatoire, mais un calcul bien mené montre ta maîtrise. Prépare un ou deux calculs clés que tu peux faire rapidement. Évite les calculs longs : écris plutôt le résultat et explique la démarche. Le jury apprécie surtout que tu comprennes ce que tu fais.
Oui, c’est même recommandé. Le théorème de Bayes en médecine (maths-SVT), la datation au carbone 14 (maths-physique) ou la génétique mendélienne (maths-SVT) sont d’excellents sujets croisés. Consulte notre article sur la datation de la mort pour un exemple maths-physique.
