Image et antécédent : Cours et exercices

Maitrisez votre cours sur antécédent et image. Le cours essentiel et des exercices seront là pour vous guider dans sa compréhension.
antécédent et image

Image

Définition

Soit une fonction f et y définie par y = f(x). Pour un x donné, f(x) s’appelle l’image de x par f. L’image de x de par f est y.
Si x appartient à l’ensemble de définition de f, l’image de x par f est unique.

Exemple

f(x) = x + 2
L’image de 3 par f est f(3) = 3 + 2 = 5.
On va donc dire que 5 est l’image de 3 par f.

Représentation graphique

Si x est l’abscisse alors l’image de x est l’ordonnée.

Image

Ici on prend le point A correspondant à l’abscisse 2. 4 est l’image de 2 ce qui correspond à l’ordonnée de par f.

Antécédent

Définition

Soit un nombre y et une fonction f. Soit un x tel que f(x) = y. x est alors l’antécédent de y par la fonction f.
L’antécédent n’est pas nécessairement unique. Il peut y en avoir aucun, un seul, plusieurs ou même une infinité.

Exemple

f(x) = 2x + 4. L’antécédent de 8 par f est 2 car f(2) = 2 x 2 + 4 = 8.
f(4) = 24 + 4 = 8 + 4 = 12

g(x) = x2.
4 a alors 2 antécédents.
En effet,
g(2) = 22 = 4
g(-2) = (-2)2 = 4
2 et -2 sont des antécédents de 4 pour la fonction g.

Toujours en prenant g :
-1 n’a pas d’antécédent.
En effet, g est toujours positive. On ne peut donc pas trouver de x tel que x2 = -1.

Représentation graphique

Si on cherche l’antécédent d’un nombre donné a. On trace la droite y = a. Et on regarde quel(s) point(s) coupe(nt) la droite. Si de tels points existent, ce sont les antécédents de a.

Antécédent exemple

Dans l’exemple ci-dessus, on cherche les éventuels antécédents de 4. On a donc tracé la droite y = 4. Elle coupe les points d’abscisse -2 et 2. Ces deux valeurs sont donc les abscisses de 4.

antécédent exemple 2

Dans l’exemple ci-dessus, on cherche les éventuels antécédents de -1. On a donc tracé la droite y = -1. Comme cette droite ne coupe pas la courbe de notre fonction, -1 n’a donc pas d’antécédent pour cette fonction.

Résumons : Si on sait que f(2) = 5 alors :

  • L’image de 2 par f est 5
  • Un antécédent de 5 par f est 2

On dit l’image car elle est unique mais un antécédent car on ne sait pas s’il est unique.

Exercices

Exercice 1
1) Soit f définie par f(x) = 3x + 4.
Donner l’image par f de 1, 3 et 5
2) Soit f définie par f(x) = 2x + 5
Donner l’image par f de 2, 10 et -3
3) Soit f définie par f(x) = -3x + 2
Donner l’image par f de -3, 0 et 3

Exercice 2
1) Soit f définie par f(x) = x + 4.
Donner l’antécédent par f de 1, 3 et 5
2) Soit f définie par f(x) = 2x + 4
Donner l’antécédent par f de 2, 10 et -3
3) Soit f définie par f(x) = -4x + 3
Donner l’antécédent par f de -3, 0 et 3

Exercice 3
Donner les images de 0, 1, 2 et 3 pour les courbe des deux fonctions ci-dessous.

image 2
image

Exercice 4
Donner les antécédents de 1 et -2 pour la première fonction ci-dessus.
Donner les antécédents de -6,-4,0 et 3 pour la fonction ci-dessous.

antécédent

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