Image
Définition
Soit une fonction f et y définie par y = f(x). Pour un x donné, f(x) s’appelle l’image de x par f. L’image de x de par f est y.
Si x appartient à l’ensemble de définition de f, l’image de x par f est unique.
Exemple
f(x) = x + 2
L’image de 3 par f est f(3) = 3 + 2 = 5.
On va donc dire que 5 est l’image de 3 par f.
Représentation graphique
Si x est l’abscisse alors l’image de x est l’ordonnée.
Ici on prend le point A correspondant à l’abscisse 2. 4 est l’image de 2 ce qui correspond à l’ordonnée de par f.
Antécédent
Définition
Soit un nombre y et une fonction f. Soit un x tel que f(x) = y. x est alors l’antécédent de y par la fonction f.
L’antécédent n’est pas nécessairement unique. Il peut y en avoir aucun, un seul, plusieurs ou même une infinité.
Exemple
f(x) = 2x + 4. L’antécédent de 8 par f est 2 car f(2) = 2 x 2 + 4 = 8.
f(4) = 24 + 4 = 8 + 4 = 12
g(x) = x2.
4 a alors 2 antécédents.
En effet,
g(2) = 22 = 4
g(-2) = (-2)2 = 4
2 et -2 sont des antécédents de 4 pour la fonction g.
Toujours en prenant g :
-1 n’a pas d’antécédent.
En effet, g est toujours positive. On ne peut donc pas trouver de x tel que x2 = -1.
Représentation graphique
Si on cherche l’antécédent d’un nombre donné a. On trace la droite y = a. Et on regarde quel(s) point(s) coupe(nt) la droite. Si de tels points existent, ce sont les antécédents de a.
Dans l’exemple ci-dessus, on cherche les éventuels antécédents de 4. On a donc tracé la droite y = 4. Elle coupe les points d’abscisse -2 et 2. Ces deux valeurs sont donc les abscisses de 4.
Dans l’exemple ci-dessus, on cherche les éventuels antécédents de -1. On a donc tracé la droite y = -1. Comme cette droite ne coupe pas la courbe de notre fonction, -1 n’a donc pas d’antécédent pour cette fonction.
Résumons : Si on sait que f(2) = 5 alors :
- L’image de 2 par f est 5
- Un antécédent de 5 par f est 2
On dit l’image car elle est unique mais un antécédent car on ne sait pas s’il est unique.
Exercices
Exercice 1
1) Soit f définie par f(x) = 3x + 4.
Donner l’image par f de 1, 3 et 5
2) Soit f définie par f(x) = 2x + 5
Donner l’image par f de 2, 10 et -3
3) Soit f définie par f(x) = -3x + 2
Donner l’image par f de -3, 0 et 3
Exercice 2
1) Soit f définie par f(x) = x + 4.
Donner l’antécédent par f de 1, 3 et 5
2) Soit f définie par f(x) = 2x + 4
Donner l’antécédent par f de 2, 10 et -3
3) Soit f définie par f(x) = -4x + 3
Donner l’antécédent par f de -3, 0 et 3
Exercice 3
Donner les images de 0, 1, 2 et 3 pour les courbe des deux fonctions ci-dessous.
Exercice 4
Donner les antécédents de 1 et -2 pour la première fonction ci-dessus.
Donner les antécédents de -6,-4,0 et 3 pour la fonction ci-dessous.
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