Qu’est-ce que le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. Mais c’est son neveu, Daniel Bernoulli qui en a fait la publication. Découvrons ensemble ce qu’est ce paradoxe et de quoi il en retourne.

Enoncé du jeu lié au paradoxe de Saint-Pétersbourg

Considérons un joueur et une banque dans un jeu à somme nulle. Le joueur parie une mise initiale. On lance une pièce de monnaie, supposée équilibrée à pile ou face. Pour le premier lancer, on va miser 1 euro. On joue tant qu’on a pile. A chaque nouvelle partie, on double la mise. Si on obtient face au n-ième lancer, le jeu s’arrête. Dans ce cas, la banque paie 2ⁿ euros au joueur qui a dépensé 2ⁿ-1.

La question est la suivante : Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable ? Il faut donc que ni le joueur, ni la banque ne soient avantagés par ce jeu.

Calcul de l’espérance

Admettons que face apparaisse au k-ième lancer. Dans ce cas, le gain est de 2^k. Pour que face apparaisse au k-ième lancer, il faut faire pile n-1 fois puis face 1 fois. Dans ce cas, l’espérance de gain est de

2^k \times \dfrac{1}{2^k} = 1

En fait, la probabilité d’apparition de face suit une loi géométrique de paramètre 1/2. On va alors sommer les espérances de gain pour obtenir l’espérance totale. Notons Y le montant remis par la banque :

E(Y) = \sum_{k=0}^{+\infty}2^k \times \dfrac{1}{2^k}= \sum_{k=0}^{+\infty}1 = +\infty

Donc le joueur aurait une espérance de gain infini. Là où est le paradoxe c’est que la banque ne dispose pas d’une somme infinie. Admettons maintenant qu’elle dispose de 1 000 000 euros. Dans ce cas, si le joueur obtient face lorsque n est tel que 2ⁿ > 1 000 000, il touchera un million. Sinon il touchera 2ⁿ. Le premier n tel que 2ⁿ > 1 000 000 est n =20. Dans ce cas, l’espérance est :

\begin{array}{ll}
E(Y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^{19}2^k \times \dfrac{1}{2^k}+ 1000000\times P(X \geq 20) \\
&=19 + 1000000\times \dfrac{1}{2^{19}} \\
& \approx 20,91
\end{array}

Donc le joueur devrait miser 20,91 euros pour que le jeu soit équitable.

Si on passe à 1 000 000 000 (1 milliard), alors n = 30 est le seuil tel que 2ⁿ > 1 000 000 000. On a alors dans ce cas :

\begin{array}{ll}
E(Y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^{29}2^k \times \dfrac{1}{2^k}+ 1000000000\times P(X \geq 30) \\
&=19 + 1000000000\times \dfrac{1}{2^{29}} \\
& \approx 30,86
\end{array}

En pratique, quelle banque serait assez folle pour miser 1 000 000 000 voir même “seulement” 1 million, dans de telles condtions ?

Votre probabilité de gain est infinie si vous misez tout votre argent. Mais réfléchissez-bien le feriez-vous ? Avec 1 chance sur 2, vous ne gagneriez que 2 euros…

Eléments d’explication du paradoxe de Saint-Pétersbourg

• La loi des grands nombres ne peut pas s’appliquer : l’espérance dans ce calcul est infinie
• La valeur accordée à une somme d’argent n’est pas une fonction simplement linéaire : on accorde ici à chaque euro supplémentaire une importance totalement différente, d’un côté comme de l’autre.
• le risque est un coût : ce n’est pas pareil de gagner un euro que de gagner 2 euros avec 50 % de chance !

Faites l’expérience suivante : Accepteriez-vous le pari suivant ? Si vous perdez vous devez payer 10 ²⁰ euros, si vous gagnez, vous gagnez 1 000 000 000 euros. La probabilité de perdre est de 0,0000001 %, prenez-vous le pari ? Si vous vous fiez à l’espérance, non. Mais la probabilité de perdre est tellement faible que vous devriez prendre ce risque !