Qu’est-ce que le paradoxe de Saint-Pétersbourg ?

Qu’est-ce que le paradoxe de Saint-Pétersbourg ? Découvrez-le dans cet article !
Saint Pétersbourg

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli. Mais c’est son neveu, Daniel Bernoulli qui en a fait la publication. Découvrons ensemble ce qu’est ce paradoxe et de quoi il en retourne.

Enoncé du jeu lié au paradoxe de Saint-Pétersbourg

Considérons un joueur et une banque dans un jeu à somme nulle. Le joueur parie une mise initiale. On lance une pièce de monnaie, supposée équilibrée à pile ou face. Pour le premier lancer, on va miser 1 euro. On joue tant qu’on a pile. A chaque nouvelle partie, on double la mise. Si on obtient face au n-ième lancer, le jeu s’arrête. Dans ce cas, la banque paie 2n euros au joueur qui a dépensé 2n-1.

La question est la suivante : Quelle est la mise initiale pour que le jeu soit équitable ? Il faut donc que ni le joueur, ni la banque ne soient avantagés par ce jeu.

Calcul de l’espérance

Admettons que face apparaisse au k-ième lancer. Dans ce cas, le gain est de 2k. Pour que face apparaisse au k-ième lancer, il faut faire pile n-1 fois puis face 1 fois. Dans ce cas, l’espérance de gain est de

2^k \times \dfrac{1}{2^k} = 1

En fait, la probabilité d’apparition de face suit une loi géométrique de paramètre 1/2. On va alors sommer les espérances de gain pour obtenir l’espérance totale. Notons Y le montant remis par la banque :

E(Y) = \sum_{k=0}^{+\infty}2^k \times \dfrac{1}{2^k}= \sum_{k=0}^{+\infty}1 = +\infty

Donc le joueur aurait une espérance de gain infini. Là où est le paradoxe c’est que la banque ne dispose pas d’une somme infinie. Admettons maintenant qu’elle dispose de 1 000 000 euros. Dans ce cas, si le joueur obtient face lorsque n est tel que 2n > 1 000 000, il touchera un million. Sinon il touchera 2n. Le premier n tel que 2n > 1 000 000 est n =20. Dans ce cas, l’espérance est :

\begin{array}{ll}
E(Y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^{19}2^k \times \dfrac{1}{2^k}+ 1000000\times P(X \geq 20) \\
&=19 + 1000000\times \dfrac{1}{2^{19}} \\
& \approx 20,91
\end{array}

Donc le joueur devrait miser 20,91 euros pour que le jeu soit équitable.

Si on passe à 1 000 000 000 (1 milliard), alors n = 30 est le seuil tel que 2n > 1 000 000 000. On a alors dans ce cas :

\begin{array}{ll}
E(Y) &=\displaystyle \sum_{k=0}^{29}2^k \times \dfrac{1}{2^k}+ 1000000000\times P(X \geq 30) \\
&=19 + 1000000000\times \dfrac{1}{2^{29}} \\
& \approx 30,86
\end{array}

En pratique, quelle banque serait assez folle pour miser 1 000 000 000 voir même “seulement” 1 million, dans de telles condtions ?

Votre probabilité de gain est infinie si vous misez tout votre argent. Mais réfléchissez-bien le feriez-vous ? Avec 1 chance sur 2, vous ne gagneriez que 2 euros…

Eléments d’explication du paradoxe de Saint-Pétersbourg

  • La loi des grands nombres ne peut pas s’appliquer : l’espérance dans ce calcul est infinie
  • La valeur accordée à une somme d’argent n’est pas une fonction simplement linéaire : on accorde ici à chaque euro supplémentaire une importance totalement différente, d’un côté comme de l’autre.
  • le risque est un coût : ce n’est pas pareil de gagner un euro que de gagner 2 euros avec 50 % de chance !

Faites l’expérience suivante : Accepteriez-vous le pari suivant ? Si vous perdez vous devez payer 10 20 euros, si vous gagnez, vous gagnez 1 000 000 000 euros. La probabilité de perdre est de 0,0000001 %, prenez-vous le pari ? Si vous vous fiez à l’espérance, non. Mais la probabilité de perdre est tellement faible que vous devriez prendre ce risque !

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4 commentaires
  1. Bonjour, merci pour cet article, je voudrais parler du paradoxe de saint Pétersbourg lors de mon grand oral, mais je ne sais pas comment je pourrais formuler une problématique lié à ce sujet. Avez vous une idée ?

  2. Bonjour, merci pour cet article, je compte utiliser ce paradoxe pour mon grand oral, mais je ne vois pas comment je pourrais reformuler une problématique à propos de ce sujet. Avez vous une idée ?

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