Le paradoxe des anniversaires

Après le paradoxe de Simpson, intéressons-nous au paradoxe des anniversaires. Ce dernier est aussi appelé problème des anniversaires. C’est un problème de probabilités que nous allons résoudre dans cet article.

Voici la question à laquelle nous allons répondre : Dans une salle de classe, combien faut-il d’élèves au minimum pour que la probabilité que 2 élèves soient nés le même jour soit plus grande que 1/2 ?

Avant de lire la suite, essayer de penser intuitivement à combien la réponse pourrait être.

Réponse au problème

Il est plus facile de calculer la probabilité que tous les élèves dans une classe soient nés un jour différent. La réponse recherché sera alors 1 auquel on soustrait le résultat obtenu juste avant.

Supposons qu’on ait n élèves. La probabilité que tous les élèves soient nés un jour différent est :

P(n) = \dfrac{365}{365}\times\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\ldots\times\dfrac{365-(n-1)}{365}

Explications :
Le premier élève peut être né n’importe quel jour. Il a donc 365 choix.
Le deuxième élève doit être né un jour différent du premier. Il lui reste donc 364 choix.
Le troisième élève doit être né un jour différent du premier et du deuxième. Il a ainsi 363 choix.
…
Le dernière élève doit être né un jour différent des n-1 précédents élèves. Il a donc 365-(n-1) choix.

La formule marche bien aussi pour n= 1. Dans ce cas, l’élève est tout seul est donc a une probabilité 1 d’être né un jour différent de ses camarades puisqu’il est tout seul. Et d’après la formule au-dessus, on a bien P(1) = 1.

La probabilité recherchée correspond à celle de l’évènement contraire c’est à dire “Au moins un élève est né en même temps qu’un autre.”. Le résultat est donc :

 \begin{array}{| c | c | } \hline
     n & \mathbb{P}(n) \\ \hline \hline 
     1 &  0 \%   \\\hline   
     5 &  2,71 \%   \\\hline   
     10 &  11,69 \%   \\\hline   
     15 &  25,29 \%   \\\hline   
     20 &  41,14 \%  \\\hline   
     23 &  50,73 \%   \\\hline   
     25 &  56,87 \%   \\\hline   
     30 &  70,63 \%   \\\hline   
     50 &  97,04 \%   \\\hline   
     100 &  99,99997 \%   \\\hline   
     365 \ et\  + & 100\%   \\ \hline 
   \end{array}

Interprétation des résultats

A partir de 23 élèves, on a plus d’1 chance sur 2 que d’avoir 2 èlèves ayant une date d’anniversaire commune. 23 est donc la réponse au problème défini ci-dessus. Si on a 100 élèves c’est quasiment sûr, la probabilité est déjà extrêmement proche de 100 %.

Une classe de 30 élèves a environ 7 chances sur 10 d’avoir 2 élèves nés le même jour.

Pourquoi est-ce le “paradoxe des anniversaires” ?

On l’appelle le paradoxe des anniversaires car la réponse semble contre-intuitive à la plupart des personnes auxquelles on pose la question définie au début. La plupart des réponses obtenus peuvent être :

• Au moins 183 (365/2 arrondi à l’entier supérieur). On se dit que dans ce cas, on couvre forcément plus de la moitié des dates.
• Au moins 50 ou 100.

Dans tous les cas, ce qui est surprenant est la vitesse à laquelle on arrive au résultat. 23 c’est peu.

Quelle est la probabilité pour que dans une classe de 30 élèves il y en ait au moins deux qui aient la même date d’anniversaire ?

Et maintenant vous êtes même prêts pour faire cet exercice de probabilité de prépa ECS :

Avec ce qu’on a fait avant, on peut répondre à la question : je refuse le pari car la probabilité que deux personnes aient la même date d’anniversaire dans cette classe de 30 personnes est d’environ 70,3%. J’ai donc plus de chances de perdre que de gagner.