Ces deux nombres, qui s’écrivent différemment : 0,99999… avec une infinité de neufs et 1 sont-ils les mêmes ? Nous allons répondre à cette question.
Un argument contre
Il semble assez clair que 0,9 < 1, 0,99 < 1, 0,999 < 1. Donc, par récurrence par exemple, 0,999999… < 1. En fait, en faisant cela, on passe à la borne supérieure et le signe < n’est pas nécessairement conservé…
Mais bien sûr les maths ne se limitent pas à de simples arguments, faisons une vraie démonstration qui permettra d’affirmer ou infirmer ce résultat.
Les démonstrations
Faisons 2 démonstration pour affirmer ou non cette égalité.
Démonstration 1 : Avec des équations
Appelons x le nombre 0,99999999…
On a : 10x = 9,99999999…. = 9 + 0,99999999… = 9 + x
Ce qui fait que cette équation se résumé à 10 x = 9 + x et donc 9x = 9. En simplifiant, on trouve x =1
Conclusion : On a bien 0,99999999… = 1
Démonstration 2 : Avec des séries
On remarque le pattern suivant
\begin{array}{rll}
0,9& = &9\times 10^{-1}\\
0,09 &=& 9\times 10^{-2}\\
0,009 &=& 9\times 10^{-3}\\
0,0009 &= &9\times 10^{-4}\\
&\vdots&
\end{array}Ce qui nous donne la série géométrique suivante :
0,999999... = \sum_{n=1}^{+\infty} 9.10^{-k}Cette somme se calcule alors aisément :
\begin{array}{ll}
0,999999... &=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} 9.10^{-k}\\
& =9\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{-k} \\
& = 9 \dfrac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}} \\
& = \dfrac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}\\
&=1
\end{array}Là aussi, on arrive à la même conclusion que précédemment : 0,9999999…. = 1
Mais comment peut-on avoir 2 “nombres” différents dans leur écriture mais égaux ? Tout simplement, parce que, tout comme le nombre 0 puissance 0, 0,9999999 n’est en fait pas un nombre mais une limite. Et donc en fait on ne devrait pas parler du nombre 0,9999999999… tout comme pour 1/3 = 0,3333333…. L’élément de gauche est le vrai nombre “un tiers” et l’élément de droite une limite permettant d’exprimer 1/3.
D’ailleurs, aviez-vous remarqué que 1 = 3 x 1/3 = 3 x 0,333333333… = 0,999999999 ?
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