Le paradoxe de Simpson ou effet de Yule-Simpson est un paradoxe statistique décrit par Edward Simpson en 1951 et George Udny Yule en 1903.

Edward Simpson
Edward Simpson (source)

Définition

Un phénomène observé dans plusieurs groupes peut s’inverser lorsque deux groupes sont combinés.
Si deux groupes vérifient une caractéristique donnée. Alors en les rassemblant, il est possible d’avoir la caractéristique inverse.

Vous pensiez que ça avait un rapport avec ce cher Homer ? Il n’est malheureusement pas très bon en maths.
Par contre lisez l’exemple ci-dessous pour bien comprendre de quoi il en retourne.

Exemple

Alice et Bob font des exercices de mathématiques. Chaque semaine ils comptent le nombre d’exercices qu’ils ont fait et le nombre d’exercices qu’ils ont réussi.
Question : Qui réussit le plus grand pourcentage d’exercices ?

Semaine 1
Alice réussit 50 exercices sur 100
Bob réussit 9 exercices sur 10
Bob réussit 90 % de ses exercices tandis qu’Alice n’en réussit que 50 %
C’est donc Bob qui réussit le plus grand pourcentage d’exercices.

Semaine 2
Alice réussit 2 exercices sur 10
Bob réussit 35 exercices sur 100
Bob réussit 35 % de ses exercices tandis qu’Alice n’en réussit que 20%
C’est donc encore Bob qui réussit le plus grand pourcentage d’exercices.

Semaine 3
Alice réussit 30 exercices sur 50
Bob réussit 30 exercices sur 40
Bob réussit 75 % de ses exercices. Alice n’en réussit pour sa part que 60 %
Finalement, Bob réussit encore une fois le plus grand pourcentage d’exercices.

Maintenant récapitulons les résultats :

Semaine 1Semaine 2Semaine 3Bilan
Alice50 / 100 = 50 %2 / 10 = 20 %30 / 50 = 60 %82 / 160 = 51,25 %
Bob8 / 10 = 80 %35 / 100 = 35 %30 / 40 = 75 %73 / 150 ≈ 48,67 %
GagnantBobBobBobAlice

Alors que Bob a gagné chaque semaine, au bilan global c’est Alice qui l’emporte ! C’est bien cela le paradoxe de Simpson. Alors que Bob a gagné chaque semaine, on s’attend à ce qu’il gagne au global des trois semaines. Mais finalement, c’est Alice qui gagne.

Quelles sont les maths derrière ce paradoxe de Simpson ?

Le point le plus important à retenir est que les catégories ne sont pas équilibrées. Alors qu’Alice fait 100 exercices en semaine 1, Bob n’en fait que 10. Tandis qu’en semaine 2, cela s’inverse, Alice fait 10 exercices et Bob en fait 100. Alice a beaucoup plus travaillé en semaine 1 que Bob et Bob a beaucoup plus travaillé qu’Alice en semaine 2.

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