Loi binomiale : Cours et exercices corrigés

C’est l’une des premières lois de probabilités qu’on apprend, la loi binomiale est présente dans pas mal de situations de la via quotidienne !

Prérequis

• Loi de Bernoulli
• Coefficient binomial
• Binôme de Newton

Définition

La loi binomiale est une loi de probabilité discrète avec deux paramètres n et p. Elle est définie sur l’univers Ω​ = {0, …, n}.

Définition à l’aide d’épreuves de Bernoulli

Une variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres n,p lorsqu’elle représente le nombre de succès lorsqu’on répète n épreuves de Bernoulli ayant une probabilité de succès p.

De plus, on peut montrer que

\forall k \in \{0, \ldots,n\}, \mathbb{P}(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

La loi binomiale de paramètres n et p est notée \mathcal{B}(n,p).

Définition avec des variables aléatoires

La loi binomiale X de paramètres n et p est définie par

X = \sum_{k=1}^n Y_1 = Y_1+ \ldots + Y_n

où les (Y_i)_{i ∈ {1, …, n}} sont n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p.

Quelle est la différence entre la loi de Bernoulli et la loi binomiale ?

En soit, une loi de Bernoulli est une loi binomiale de paramètre (1,p). C’est donc un cas particulier de loi binomiale. Dans une loi de Bernoulli, le schéma de Bernoulli est répété 1 fois, tandis que dans le cas de la loi binomiale, il est répété n fois.
On peut donc dire que la loi binomiale est une généralisation de la loi de Bernoulli.

Propriétés

Espérance de la loi binomiale

L’espérance de la loi binomiale vaut np. On peut la démontrer de deux manières. D’abord en tant que somme de loi de Bernoulli. Si

X = \sum_{k=1}^n Y_1 = Y_1+ \ldots + Y_n

avec (Y_i)_{i ∈ {1, …, n}} n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p.

On a alors, par linéarité de l’espérance :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &= \mathbb{E}\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n Y_1 \right)\\
&=  \displaystyle \sum_{k=1}^n\mathbb{E} \left( Y_1 \right)\\
&=  \displaystyle \sum_{k=1}^n p \\
& = n p
\end{array}

Et voici une seconde démonstration, utilisant la fonction de masse :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &= \displaystyle \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k) \\
&= \displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\
\end{array}

On utilise ensuite une des formules des coefficients binomiaux :

k \binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}

Ce qui fait qu’on obtient :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E} (X) &=  \displaystyle \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=  \displaystyle \sum_{k=0}^n n \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=  \displaystyle n \sum_{k=1}^n  \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k} \\
&=  \displaystyle n \sum_{k=0}^{n-1}  \binom{n-1}{k} p^{k+1} (1-p)^{n-1-k} \\
&=  \displaystyle np \sum_{k=0}^{n-1}  \binom{n-1}{k} p^{k} (1-p)^{n-1-k} \\
&=  \displaystyle np (p+1-p)^{n-1}\\
&= np
\end{array}

On a utilisé le binôme de Newton pour ces calculs

Variance de la loi binomiale

La variance de la loi binomiale vaut np(1-p). Là aussi 2 manières de le démontrer.

X = \sum_{k=1}^n Y_1 = Y_1+ \ldots + Y_n

avec (Y_i)_{i ∈ {1, …, n}} n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. Comme les Y_i sont indépendantes, on a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) & =\displaystyle \sum_{k=1}^n \mathbb{V}(Y_1) \\
&= \displaystyle\sum_{k=1} p(1-p) \\
&= np(1-p)
\end{array}

Seconde démo, calcul direct. On a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(X^2) & = \displaystyle \sum_{k=0}^n k^2 \mathbb{P}(X=k)\\
& = \displaystyle \sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\
& = \displaystyle \sum_{k=0}^n (k(k-1) + k)\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\
& = \displaystyle \sum_{k=0}^n k(k-1) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}+\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\
\end{array}

On a vu dans le calcul de l’espérance que le terme de droite \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = np . De plus,

\forall k \in \{2, \ldots,n \}, k(k-1) \binom{n}{k}  = n(k-1) \binom{n-1}{k-1} =n(n-1) \binom{n-2}{k-2} 

Ce qui fait qu’on a :

\begin{array}{ll}
& \displaystyle \sum_{k=1}^n k(k-1) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\
=&\displaystyle \sum_{k=2}^nn(n-1) \binom{n-2}{k-2}  p^k (1-p)^{n-k}\\
=&\displaystyle n(n-1) \sum_{k=2}^n\binom{n-2}{k-2}  p^k (1-p)^{n-k}\\
=&\displaystyle n(n-1) \sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}  p^{k+2} (1-p)^{n-2-k}\\
=&\displaystyle n(n-1)p^2 \sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}  p^{k} (1-p)^{n-2-k}\\
=&\displaystyle n(n-1)p^2 (p+1-p)^{n-2}\\
=&\displaystyle n(n-1)p^2\\
\end{array}

Maintenant on sait que :

\mathbb{E}(X^2) = n(n-1)p^2 + np

Puis,

\begin{array}{ll}
\mathbb{V}(X) &= \mathbb{E} (X^2) -\mathbb{E} (X)^2\\
&=n(n-1)p^2 +np-(np)^2\\
&=n^2p^2 -np^2 +np-n^2p^2\\
&=-np^2 +np\\
&=np(1-p)\\
\end{array}

Exercices corrigés de loi binomiale

Exercice 1

Enoncé :

Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à 25 entreprises.
La probabilité qu’une entreprise lui réponde est de 0,2 et on suppose que ces réponses sont indépendantes.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins 5 réponses ?

Corrigé :

On effectue 25 épreuves de Bernoulli : “On envoie un CV à l’entreprise avec une probabilité de réponse p = 0,2” dont le succès est E : “l’entreprise répond”. Le nombre X de réponses suit donc une loi binomiale de paramètres n= 25 et p = 0,2. On a donc

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X \geq 5) &= 1 - \mathbb{P}(X\leq 4) \\
&= 1 - (\mathbb{P}(X= 0)+\mathbb{P}(X= 1)+\mathbb{P}(X= 2)+ \mathbb{P}(X= 3)+\mathbb{P}(X= 4)) \\
 &\approx 0,58
\end{array}

On a fait les calculs à la calculatrice car ils sont trop complexes pour être faits à la main.

Exercice 2

Enoncé : Une variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Sachant que son espérance vaut 2,4 et sa variance 1,92, retrouver ses paramètres.

Corrigé : On sait que l’espérance vaut np et que la variance vaut np(1-p). On a donc le résultat suivant

\dfrac{\mathbb{V}(X)}{\mathbb{E}(X)} = \dfrac{np(1-p)}{np} = 1-p

Ce qui fait, appliqué à nos données :

1-p = \dfrac{1,92}{2,4} = 0,8

On a ainsi, p = 0,2.
Maintenant, comme

\mathbb{E}(X) = np 

On a

n = \dfrac{\mathbb{E}(X)}{p} =\dfrac{2,4}{0,2} = 12

On a donc une loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,2.

Exercice 3

Enoncé : Une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas (de 1 mètre) en avant ou bien un pas (de 1 mètre aussi) en arrière avec une même probabilité

1. Quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il soit à son point de départ ?
2. Quelle est la probabilité qu’après 10 pas, il ait avancé de 5 m ?
3. Où se trouve-t-il en moyenne après 10 pas ?

Question 1 : On note X le nombre de pas en avant. Chaque pas en avant a une probabilité de 0,5 de se produire. Si on fait 10 pas, on a donc 10 épreuves de Bernoulli dont le succès est “faire un pas en avant” de probabilité 0,5. X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,5. Pour être revenu au point de départ en 10 pas, il faut donc avoir fait 5 pas en avant et 5 pas en arrière. C’est donc la probabilité que X = 5

\begin{array}{ll}
\mathbb{P}(X=5)& = \displaystyle\binom{10}{5} \left( \dfrac{1}{2}\right)^5 \left(1- \dfrac{1}{2}\right)^{10-5}\\
& =\displaystyle \binom{10}{5} \left( \dfrac{1}{2}\right)^{10}\\
& \approx 24,6 \%
\end{array}

Question 2 : Pour avoir avancé en 10 pas de 5 mètres, si on note Y le nombre de pas où on a reculé, on sait qu’on a fait 10 pas en tout. Donc

X + Y = 10

Et qu’on a avancé de 5 mètres en avançant de X puis en reculant de Y pas :

X - Y = 5

Si on somme ces deux équations, on obtient

2X = 15 \iff X = \dfrac{15}{2}

Or, le nombre de pas est entier. Donc il n’y a pas de solution entière à cette équation. Donc la probabilité qu’au bout de 10 pas il ait avancé de 5 mètres est nulle.

Question 3 : On va calculer la moyenne de X grâce à la formule de l’espérance.

\mathbb{E}(X) = 10 \times \dfrac{1}{2} = 5

La personne aura donc avancé en moyenne de 5 pas, et donc reculé de 5 pas, ce qui fait qu’en moyenne, elle n’aura pas bougé !

Enoncés d’exercices de loi binomiale

Exercice 1

Un commercial doit rendre visite à 4 clients. Il sait que la probabilité d’obtenir une commande est la même pour tous ses clients et que sa valeur est de 0,3. On admet que la décision de chaque client est indépendante des autres clients.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de clients qui ont passé une commande.

1. Quelle loi suit X ? Préciser les paramètres et justifier.
2. Quelle est la probabilité pour le commercial d’obtenir exactement trois commandes
3. Quelle est la probabilité pour le commercial de n’obtenir aucune commande
4. Le commercial a-t-il plus d’une chance sur deux d’obtenir au moins deux commandes ?

Exercice 2

Un élève répond au hasard et avec indépendance à chacune des dix questions d’un Q.C.M.
Pour chaque question, il y a trois propositions dont une seule est “bonne”
Soit X le nombre de bonnes réponses obtenues par l’élève

1. Justifier que X suit une loi binomiale. Donner ses paramètres
2. Calculer la probabilité que l’élève ait la moyenne
3. Calculer la probabilité que l’élève ne donne aucune bonne réponse
4. Calculer l’espérance de l’élève et interpréter cette valeur. A-t-il raison d’adopter cette stratégie ?
5. Combien faudrait-il de questions pour que la probabilité que l’élève obtienne au moins une bonne réponse dépasse 99 % ?

Exercice 3

Donner deux exemples d’expérience aléatoire qui ne sont pas des épreuves de Bernoulli

Exercice 4

Un représentant de panneaux démarche dix clients par jour. On suppose que chaque client lui commande un kit de panneaux solaires avec la probabilité 0,05 ; il est également supposé que la décision d’un client n’a aucun impact sur celles des autres.

1. Calculer la probabilité, pour le commercial, de vendre un jour choisi au hasard au mois
   de janvier :
   (a) au moins un kit de panneaux solaires;
   (b) exactement trois kits de panneaux solaires.
2. Sachant qu’il touche 200 euros de commission par kit de panneaux solairesvendue, calculer la probabilité qu’il gagne au moins 400 euros dans une journée.
3. Combien de kits de panneaux solaires, le représentant peut-il espérer vendre dans une journée ?
   Tous les résultats seront à arrondir à 10^-3.

Exercice 5

Une entreprise dispose d’un grand réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « Temps de fonctionnement ». On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieure à 8 heures est égale à 0,52. On relève aléatoirement 12 temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants. Soit X la variable aléatoire égale en nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.

1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
2. Calculer la probabilité que 5 temps parmi ces 12 soient supérieurs ou égaux à 8 heures.
3. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X, arrondi à l’entier le plus proche.
4. Calculer la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X.

Exercice 6

Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuses est égale à 2 x 10^-3. Dans un lot de 2000 résistances, quelle est la probabilité d’avoir :

1. Exactement deux résistances défectueuses ?
2. Au plus deux résistances défectueuses ?
3. Au moins deux résistances défectueuses ?

Exercice 7

Un photographe animalier se poste là où un chat sauvage passe parfois à l’aube, de façon totalement aléatoire. L’un de ses collègues lui a affirmé qu’au cours des deux mois précédents le félin était passé six fois et il en a conclu que la probabilité d’apparition du chat un matin donné s’établissait à
0,1.
Notre photographe ne peut consacrer que cinq jours à cet affût mais il partira avant s’il a pu photographier le chat. Selon les services de la météo, il pleuvra le deuxième jour. Sinon, il fera beau temps.

1. Quelle est la probabilité de photographier le chat sous la pluie ?
2. Quelle est la probabilité de photographier le chat au cours de ces cinq
   jours ?

Exercice 8

Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3 km de son domicile à une vitesse supposée constante de 15 km/h. Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est de 2/3. Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et T la variable aléatoire égale au temps en minute mis par l’élève pour aller au lycée.

1. Déterminer la loi de probabilités de X.
2. Exprimer T en fonction de X.
3. Déterminer E(T) et interpréter ce résultat.
4. L’élève part 17 minutes avant le début des cours.
   a. Peut-il espérer être à l’heure ?
   b. Calculer la probabilité qu’il soit en retard.

Exercice 9

Déterminez pour quelle valeur de p la variance d’une loi binomiale B(n, p) est maximale, et ceci quelle que soit la valeur de n.