Croissance comparée : Cours et exercices corrigés

Dans cet article, nous allons vous présenter les principaux résultats de croissance comparée. 

Le théorème des croissances comparées

Avec le logarithme

On a les résultats suivants de croissance comparée pour le logarithme en + \infty : 

• \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0  
• Pour tout entier n, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0  
• Pour tout réel positif a, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^a} = 0  
• Pour tout réels positifs a et b, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)^b}{x^a} = 0  

On a des résultats analogues en 0 : 

• \displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln(x)= 0  
• Pour tout entier n, \displaystyle \lim_{x \to 0}x^n\ln(x) = 0  
• Pour tout réel positif a, \displaystyle \lim_{x \to 0}x^a\ln(x) = 0  
• Pour tout réels positifs a et b, \displaystyle \lim_{x \to 0} x^a \ln(x)^b= 0  

Avec l’exponentielle

Voici maintenant les résultats de croissance comparée pour l’exponentielle en + \infty : 

• \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty  
• Pour tout entier n, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty  
• Pour tout réel positif a, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^a} = +\infty  
• Pour tout réels positifs a et b, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^{bx}}{x^a} = +\infty  

On a des résultats analogues en - \infty : 

• \displaystyle \lim_{x \to -\infty} xe^x= 0  
• Pour tout entier n, \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^ne^x = 0  
• Pour tout réel positif a, \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^a e^x = 0  
• Pour tout réels positifs a et b, \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^a e^{bx} = 0  

Toutes ces propriétés sont en fait équivalentes et il suffit de démontrer l’une d’entre elles pour avoir les autres. Je vous conseille de retenir les premières de chaque liste. Vous avez donc 4 propriétés à retenir ! 

Voici d’ailleurs une conséquence directe que vous aurez deviné :

Exercices corrigés 

Exercice 1

Enoncé : Déterminer \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \dfrac{-10e^{x}}{x^{-6}}

Corrigé : Si on réécrit la fonction, on a \dfrac{-10e^{x}}{x^{-6}} = -10 x^6 e^{x} . Ce qui fait qu’on peut appliquer directement le théorème des croissances comparées pour obtenir \displaystyle \lim_{x \to - \infty}  -10 x^6 e^{x} = 0

Exercice 2

Enoncé : Déterminer \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x)^2 - e^x

Corrigé : Dans ce cas précis, on va d’abord factoriser l’expression :   \ln(x)^2 - e^x = e^x (\dfrac{\ln(x)^2}{e^x}-1) . On a donc \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty. Par croissance comparée, on a \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)^2}{e^x} = 0 et donc \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)^2}{e^x}-1 = -1 . Ainsi  \displaystyle \lim_{x \to + \infty}  e^x (\dfrac{\ln(x)^2}{e^x}-1)= -\infty

N-B : Cet exercice serait encore valable en remplaçant \ln(x) par x 

Exercice 3

Enoncé : Déterminer \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\ln(x)}

Corrigé : On sait, d’après le théorème des croissance comparées, que \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0. Or, \dfrac{x}{\ln(x)}= \dfrac{1}{\frac{\ln(x)}{x}} et   \dfrac{x}{\ln(x)} > 0.

Ainsi, \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\ln(x)}= +\infty