Dans cet article, nous allons définir ce qu’est une racine pour un polynôme et à la fin vous saurez tout ce qu’il faut connaitre dans cette notion
Prérequis
Définition de la racine d’un polynôme
Soit \mathbb{K} un anneau. Soit P un polynôme de \mathbb{K}[X]. De plus, soit a un élément de \mathbb{K}.
On dit que a est une racine de P si et seulement si P(a) = 0
Propriétés
Voici quelques propriétés des racines :
- a est une racine de P si et seulement si (X-a ) divise P
- Un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.
- La conséquence directe est qu’un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.
Il existe des méthodes simples pour trouver les racines d’un polynôme du second degré :
La méthode de Cardan permet de trouver les racines d’un polynôme du troisième degré
Ordre d’une racine
Soit r \in \N^*. On dit que a est une racine d’ordre r si et seulement si il existe Q tel que P =(X-a)^r Q avec Q(a) \neq 0
- Une racine d’ordre 1 est dite simple
- Une racine d’ordre 2 est dite double
- On appelle r l’ordre de multiplicité.
Une propriété importante : une racine est d’ordre r si et seulement si
P(a) = \ldots = P^{(r-1)} (a) = 0 \text{ et } P^{(r)} (a) \neq 0 Un polynôme est dit scindé s’il peut s’écrire comme le produit de polynômes de degré 1.
Théorème de d’Alembert-Gauss
Le théorème de d’Alembert-Gauss nous dit que tout polynôme de \mathbb{C}[X] admet au moins une racine complexe.
Un corollaire est que tous les polynômes de \mathbb{C}[X] sont scindés.
Cas des polynômes à coefficients réels
Les polynômes irréductibles de \mathbb{R}[X] sont
- Les polynômes de degré 1
- Les polynômes de degré 2 sans racine dans \R, donc ceux pour lesquels \Delta <0 . Ces polynômes possèdent 2 racines complexes conjuguées.
À noter aussi que dans /R, tout polynôme de degré impair admet au moins une équation réelle, c’est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires.
Pour aller plus loin :
Exercices corrigés
Exercice 1087
Enoncé
Corrigé
Exercice 645
Enoncé
Corrigé
Degré de la dérivée
Enoncé
