Relations coefficients-racines : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce que sont les relations coefficients-racines ? Découvrez-le dans cet article, c’est un outil qui peut être assez utile !
Relations coefficients racines

Les relations coefficients-racines sont une propriété des polynômes qui peut servir notamment lors de la résolution d’équations.

Définition des relations coefficients-racines

Soit P un polynôme de degré n P = \displaystyle \sum_{k = 0}^n a_k X^k . D’après le théorème fondamental de l’algèbre, on sait qu’on peut écrire P sous la forme

P = a_n \prod_{k=1}^n(X-\alpha_k)

(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) sont n les racines de P.

Alors on a la relation :

\sigma_p = (-1)^p \dfrac{a_{n-p}} {a_n} = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_p \leq n} \prod_{k=1}^p \alpha_{i_k} 

Cas du degré 2

Dans le cas où le polynôme est de degré 2 : P = aX^2 + bX +c . Il a donc 2 racines \alpha et \beta . Ainsi, on peut écrire les 2 relations suivantes :

\begin{array}{ccccc} 
\sigma_1  &= &- \dfrac{b}{a} &=& \alpha + \beta\\
\sigma_2  &= & \dfrac{c}{a} &= &\alpha \beta
\end{array}

Cas du degré 3

Dans le cas où le polynôme est de degré 2 : P = aX^3 + bX^2 +cX +d. Il a donc 3 racines \alpha, \beta et \gamma . Ainsi, on peut écrire les 3 relations suivantes :

\begin{array}{ccccc} 
\sigma_1  & = & - \dfrac{b}{a} & =&  \alpha + \beta + \gamma \\
\sigma_1  & = &  \dfrac{c}{a} & =&  \alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma \\
\sigma_2  & = & - \dfrac{d}{a} & = & \alpha \beta \gamma
\end{array}

Exercices corrigés

Exercice 1 (cas du degré 2)

Enoncé

Résoudre le système suivant :

\left \{ 
\begin{array}{ccc}
x+y = 3 \\
xy = 2 
\end{array}
\right.

Corrigé

Si on considère le polynôme qui a pour racine x et y, alors les relations coefficients racines nous donnent que le polynôme X^2 -3X+2 a pour racine x et y.

On calcule alors le discriminant :

\Delta = (-3)^2 - 2 \times 4 \times 1 = 1 

Ainsi, on obtient 2 racines :

\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{3+1}{2} =2 \\
r_2 = \dfrac{3-1}{2} =1 \\
\end{array}

On a donc 2 couples solutions : \mathcal{S} = \{(1;2);(2;1)\}

Exercice 2 (cas du degré 3) : Exercice 1239

Enoncé

Système non linéaire

Corrigé

Et voici la correction en vidéo :

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