Les relations coefficients-racines sont une propriété des polynômes qui peut servir notamment lors de la résolution d’équations.
Définition des relations coefficients-racines
Soit P un polynôme de degré n P = \displaystyle \sum_{k = 0}^n a_k X^k . D’après le théorème fondamental de l’algèbre, on sait qu’on peut écrire P sous la forme
P = a_n \prod_{k=1}^n(X-\alpha_k)où (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) sont n les racines de P.
Alors on a la relation :
\sigma_p = (-1)^p \dfrac{a_{n-p}} {a_n} = \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_p \leq n} \prod_{k=1}^p \alpha_{i_k} Cas du degré 2
Dans le cas où le polynôme est de degré 2 : P = aX^2 + bX +c . Il a donc 2 racines \alpha et \beta . Ainsi, on peut écrire les 2 relations suivantes :
\begin{array}{ccccc}
\sigma_1 &= &- \dfrac{b}{a} &=& \alpha + \beta\\
\sigma_2 &= & \dfrac{c}{a} &= &\alpha \beta
\end{array}Cas du degré 3
Dans le cas où le polynôme est de degré 2 : P = aX^3 + bX^2 +cX +d. Il a donc 3 racines \alpha, \beta et \gamma . Ainsi, on peut écrire les 3 relations suivantes :
\begin{array}{ccccc}
\sigma_1 & = & - \dfrac{b}{a} & =& \alpha + \beta + \gamma \\
\sigma_1 & = & \dfrac{c}{a} & =& \alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma \\
\sigma_2 & = & - \dfrac{d}{a} & = & \alpha \beta \gamma
\end{array}Exercices corrigés
Exercice 1 (cas du degré 2)
Enoncé
Résoudre le système suivant :
\left \{
\begin{array}{ccc}
x+y = 3 \\
xy = 2
\end{array}
\right.Corrigé
Si on considère le polynôme qui a pour racine x et y, alors les relations coefficients racines nous donnent que le polynôme X^2 -3X+2 a pour racine x et y.
On calcule alors le discriminant :
\Delta = (-3)^2 - 2 \times 4 \times 1 = 1
Ainsi, on obtient 2 racines :
\begin{array}{ll}
r_1 = \dfrac{3+1}{2} =2 \\
r_2 = \dfrac{3-1}{2} =1 \\
\end{array}On a donc 2 couples solutions : \mathcal{S} = \{(1;2);(2;1)\}
Exercice 2 (cas du degré 3) : Exercice 1239
Enoncé
Corrigé
Et voici la correction en vidéo :
