Dans cet article, nous allons définir la notion de polynôme. C’est une notion qu’on croise dès le lycée, avec les trinômes du second degré mais qu’on va définir dans le supérieur.
Définition d’un polynôme
Soit A un anneau. Soient a_0, \ldots, a_n des éléments de A. L’expression formelle suivante est un polynôme :
P = a_n X^n + \ldots + a_1 X + a_0 = \sum_{k=0}^n a_k X^k En fait, on peut définir un polynôme comme une suite d’éléments sur un anneau A (les a_0, \ldots, a_n) nulle à partir d’un certain rang.
Vocabulaire
Voici quelques éléments à retenir :
- On note A[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans l’anneau A. L’ensemble des polynômes réels est donc noté \mathbb{R}[X]
- L’élément a_k X^k est appelé monôme. Un monôme est donc un cas particulier d’un polynôme ayant un seul terme non nul dans la suite qui le définit. Un polynôme est donc la somme d’un ou plusieurs monômes.
- X est appelée l’indéterminée, ce n’est pas un réel, ni un élément de l’anneau, c’est un nouvel élément utilisé pour définir de manière formelle les polynômes.
- Le polynôme P= 0 est appelé polynôme nul
- Un polynôme de la forme a_0 est appelé polynôme constant
Polynôme à plusieurs indéterminées
On définit A[X,Y] comme étant l’anneau des polynômes de la variable Y à coefficient dans A[X]. Par exemple, 3X^2 + 2XY+ 2X + Y^2 est un polynôme de \mathbb{R}[X,Y].
