Fonction de répartition : Cours et exercices corrigés

La fonction de répartition est un objet essentiel à connaitre en probabilités. Dans cet article, nous allons la définir et en donner des caractérisations ainsi que faire quelques exercices corrigés.

Définition de la fonction de répartition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire X et notée F_X est une fonction sur les réels définie par

F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x )

Pour une variable à densité, la fonction de répartition peut donc être définie par

F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt

C’est donc tout simplement une primitive de la fonction densité. On peut donc retrouver la densité en dérivant !

On peut avoir une écriture avec une fonction indicatrice pour les variables discrètes :

F_X(x) = \sum_{s \in \Omega} P(X= s) 1_{[s;+\infty[}(x) 

Avec 1_E la fonction indicatrice de E.

Caractérisation de la fonction de répartition

Une fonction f est une fonction de répartition si et seulement si (et on a donc 4 propriétés des fonctions de répartition) :

• f est croissante
• f est continue à droite
• \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = 0
• \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1

Quelques propriétés

Petit point de vocabulaire : on appelle atome un point a tel que \mathbb{P}(X=a) > 0

Voici quelques propriétés des fonctions de répartition :

• Si deux variables aléatoires réelles ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi (et réciproquement)
• Les atomes de la variable aléatoire X sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition.
• On a la formule suivante : \mathbb{P}(X \in [a;b[) = F_X(b) - F_X(a)

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{a}{1+x^2}. Déterminer a pour que f soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire X. Déterminer la fonction de répartition de X

Corrigé

On sait qu’on doit avoir \displaystyle \int_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{a}{1+x^2}dx = 1. Or,

\int_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{a}{1+x^2}dx =  a \left[ \arctan(x)\right]_{- \infty}^{+\infty}=a \left( \dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right)= a \pi 

Donc, a = \dfrac{1}{\pi}. Ainsi, on a comme fonction de répartion :

\begin{array}{ll}
F_X(t) &= \displaystyle \int_{-\infty}^x  \dfrac{1}{\pi} \dfrac{1}{1+t^2}dt\\
& =  \dfrac{1}{\pi} \left[ \arctan(t)\right]_{-\infty} ^x\\
& = \dfrac{\arctan(x) + \frac{\pi}{2}}{\pi}\\
& = \dfrac{\arctan(x)}{\pi} + \dfrac{1}{2}
\end{array}

Exercice 2

Enoncé

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1] et \lambda > 0. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y =- \dfrac{\ln(X)}{\lambda} en calculant sa fonction de répartition puis en donnant une densité.

Corrigé

On a :

\begin{array}{ll}
F_Y(x) &= \mathbb{P}(Y \leq x ) \\
 &= \mathbb{P}\left(- \dfrac{\ln(X)}{\lambda} \leq x \right) \\
 &= \mathbb{P}\left( \ln(X) \geq -\lambda x \right) \\
 &= \mathbb{P}\left( X \geq e^{-\lambda x} \right) \\
&= 1- F_X(e^{-\lambda x})
\end{array}

Or, la fonction de répartition de X s’écrit :

F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}
0 & \text{ si }& x < 0 \\
x & \text{ si } &0 \leq x < 1 \\
1 & \text{ si } &x \geq 1
\end{array}\right.

On a :

• e^{-\lambda x } \geq 1 \iff -\lambda x \geq 0 \iff x \leq 0
• e^{-\lambda x } \leq 1 \iff -\lambda x \leq 0 \iff x \geq 0

Ainsi,

F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}
1 & \text{ si } &x <0 \\
1- e^{-\lambda x} & \text{ si }& x \geq 0  \\
\end{array}\right.