La méthode de Cardan : Explications

Découvrez dans cet article la méthode de Cardan, une méthode qui permet de calculer les racines d’un polynôme de degré 3.
Méthode de Cardan

La méthode de Cardan est la méthode pour calculer de manière systématique les racines d’un polynôme de degré 3. Dans cet article, découvrez la méthode de Cardan qui vous permettra donc de vous aussi pouvoir faire ce calcul.

Prérequis

La méthode de Cardan

Quitte à diviser par le coefficient de degré 3, on cherche à résoudre l’équation x^3 + ax^2 + bx+c=0

Réduction du nombre de coefficients

Tout d’abord, on pose X= x -\dfrac{a}{3}. On se retrouve alors avec l’équation :

X^3 + \left(b -\dfrac{a^2}{3}\right) X + c -\dfrac{ab}{3} +\dfrac{2a^3}{27} = 0 

L’équation est alors de la forme

X^3 + pX + q = 0 

Pour la suite, on remplacera la notation “X” par “x”.

La méthode en question

Entrons dans le dur de la méthode de Cardan. On cherche x de la forme x = u+ v . On a alors :

\begin{array}{ll}
&(u+v)^3 + p(u+v) +q = 0 \\
\iff & u^3 + v^3 + 3u^2v+3uv^2 + p(u+v) + q = 0 \\
\iff & u^3+v^3 + q +  (u+v)(3uv + p)  = 0 
\end{array}

Nous allons maintenant imposer 3uv+p = 0

On a alors :

  • u^3 + v^3 = -q
  • 3uv+p = 0 \iff uv = \dfrac{-p}{3} \iff u^3v^3 = \dfrac{-p^3}{27}

Ainsi u^3 et v^3 sont racines de l’équation X^2 + qX - \dfrac{p^3}{27}.

On utilise alors le discriminant : \Delta = q^2 + \dfrac{4p^3}{27}

Racines cubiques

Posons j = e^{i \frac{2\pi}{3}}. On a :

  • j^3 = 1
  • j^2 = \bar{j}
  • j^2 + j +1 = 0

Soit z un nombre complexe. Si on connait r tel que r^3 = z alors x= j r et y=j^2 r vérifient aussi x^3 = z et y^3 = z

Résolution finale

On pose \delta tel que \delta^2 = \Delta . Ainsi, en notant u_0 (respectivement v_0) l’une des racines complexes de u (respectivement v), on a :

\left \{\begin{array}{ccc}
u^3 &= &\dfrac{-q +\delta}{2}\\ 
v^3 &= &\dfrac{-q-\delta}{2}\\
u_0v_0& =& \dfrac{p}{3}
\end{array} \right.

Ainsi, on a les 3 solutions suivantes :

\left \{\begin{array}{ccc}
(u,v) &= &(u_0,v_0)\\ 
(u,v) &= &(ju_0,j^2v_0)\\ 
(u,v) &= &(j^2u_0,jv_0)\\ 
\end{array} \right.

Ce qui donne comme solutions finales :

\left \{\begin{array}{ccc}
x_0 &= &u_0+v_0-\dfrac{a}{3}\\ 
x_1 &= &ju_0+j^2v_0-\dfrac{a}{3}\\ 
x_2 &= &j^2u_0+jv_0-\dfrac{a}{3}\\ 
\end{array} \right.
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