La méthode de Cardan est la méthode pour calculer de manière systématique les racines d’un polynôme de degré 3. Dans cet article, découvrez la méthode de Cardan qui vous permettra donc de vous aussi pouvoir faire ce calcul.
Prérequis
La méthode de Cardan
Quitte à diviser par le coefficient de degré 3, on cherche à résoudre l’équation x^3 + ax^2 + bx+c=0
Réduction du nombre de coefficients
Tout d’abord, on pose X= x -\dfrac{a}{3}. On se retrouve alors avec l’équation :
X^3 + \left(b -\dfrac{a^2}{3}\right) X + c -\dfrac{ab}{3} +\dfrac{2a^3}{27} = 0 L’équation est alors de la forme
X^3 + pX + q = 0
Pour la suite, on remplacera la notation “X” par “x”.
La méthode en question
Entrons dans le dur de la méthode de Cardan. On cherche x de la forme x = u+ v . On a alors :
\begin{array}{ll}
&(u+v)^3 + p(u+v) +q = 0 \\
\iff & u^3 + v^3 + 3u^2v+3uv^2 + p(u+v) + q = 0 \\
\iff & u^3+v^3 + q + (u+v)(3uv + p) = 0
\end{array}Nous allons maintenant imposer 3uv+p = 0
On a alors :
- u^3 + v^3 = -q
- 3uv+p = 0 \iff uv = \dfrac{-p}{3} \iff u^3v^3 = \dfrac{-p^3}{27}
Ainsi u^3 et v^3 sont racines de l’équation X^2 + qX - \dfrac{p^3}{27}.
On utilise alors le discriminant : \Delta = q^2 + \dfrac{4p^3}{27}
Racines cubiques
Posons j = e^{i \frac{2\pi}{3}}. On a :
- j^3 = 1
- j^2 = \bar{j}
- j^2 + j +1 = 0
Soit z un nombre complexe. Si on connait r tel que r^3 = z alors x= j r et y=j^2 r vérifient aussi x^3 = z et y^3 = z
Résolution finale
On pose \delta tel que \delta^2 = \Delta . Ainsi, en notant u_0 (respectivement v_0) l’une des racines complexes de u (respectivement v), on a :
\left \{\begin{array}{ccc}
u^3 &= &\dfrac{-q +\delta}{2}\\
v^3 &= &\dfrac{-q-\delta}{2}\\
u_0v_0& =& \dfrac{p}{3}
\end{array} \right.Ainsi, on a les 3 solutions suivantes :
\left \{\begin{array}{ccc}
(u,v) &= &(u_0,v_0)\\
(u,v) &= &(ju_0,j^2v_0)\\
(u,v) &= &(j^2u_0,jv_0)\\
\end{array} \right.Ce qui donne comme solutions finales :
\left \{\begin{array}{ccc}
x_0 &= &u_0+v_0-\dfrac{a}{3}\\
x_1 &= &ju_0+j^2v_0-\dfrac{a}{3}\\
x_2 &= &j^2u_0+jv_0-\dfrac{a}{3}\\
\end{array} \right.
