Le dénombrement : Cours et propriétés

Qu’est-ce que le dénombrement ? Découvrez-le dans cet article qui donne les principales formules et concepts !
Dénombrement

Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de dénombrement avec les principaux faits à connaitre et les propriétés importantes !

Le dénombrement : Définition

Soit E un ensemble. On appelle cardinal de E le nombre d’éléments de E. Dénombrer un ensemble correspond à calculer le cardinal de cet ensemble.

Les propriétés à connaitre en dénombrement

Soit E un ensemble fini. Soient A, B \subset E .

  • Si A \subset B alors \text{card} (A) \leq \text{card}(B)
  • Si A \subset B et \text{card} (A) = \text{card}(B) alors A=B
  • Si A \subset B, \text{card}(B \backslash A) = \text{card}(B) - \text{card}(A)
  • Si A et B sont disjoints, alors \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A)+\text{card}(B). Sinon, de manière générale : \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A)+\text{card}(B)- \text{card}(A\cap B). Cette formule se généralise à n sous-ensembles et s’appelle la formule du crible

    On a aussi une formule avec le produit cartésien : \text{card}(A \times B) = \text{card}(A) \times \text{card}(B) .

    Eléments d’analyse combinatoire

    p-listes

    Les p-listes correspondent à un tirage avec ordre et avec répétition, cela correspond donc à une situation où on tire n boules numérotées p fois et qu’on remet la boule obtenu à chaque tirage.

    Arrangements

    Les arrangements correspondent à la situation de tirage avec ordre et sans répétition. On va donc tirer p boules numérotées sans les remettre dans la pile à chaque fois.

    Permutations

    Les permutations correspondent au cardinal de l’ensemble des bijections d’un ensemble E vers lui-même. C’est le nombre différent de manières d’arranger une liste avec n numéros.

    Combinaisons

    Les combinaisons correspondent à des tirages sans remise d’objets dont l’ordre n’a pas d’importante. Ex : le tirage du loto.

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