Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de dénombrement avec les principaux faits à connaitre et les propriétés importantes !
Le dénombrement : Définition
Soit E un ensemble. On appelle cardinal de E le nombre d’éléments de E. Dénombrer un ensemble correspond à calculer le cardinal de cet ensemble.
Les propriétés à connaitre en dénombrement
Soit E un ensemble fini. Soient A, B \subset E .
- Si A \subset B alors \text{card} (A) \leq \text{card}(B)
- Si A \subset B et \text{card} (A) = \text{card}(B) alors A=B
- Si A \subset B, \text{card}(B \backslash A) = \text{card}(B) - \text{card}(A)
- Si A et B sont disjoints, alors \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A)+\text{card}(B). Sinon, de manière générale : \text{card}(A \cup B) = \text{card}(A)+\text{card}(B)- \text{card}(A\cap B). Cette formule se généralise à n sous-ensembles et s’appelle la formule du crible
On a aussi une formule avec le produit cartésien : \text{card}(A \times B) = \text{card}(A) \times \text{card}(B) .
Eléments d’analyse combinatoire
p-listes
Les p-listes correspondent à un tirage avec ordre et avec répétition, cela correspond donc à une situation où on tire n boules numérotées p fois et qu’on remet la boule obtenu à chaque tirage.
Arrangements
Les arrangements correspondent à la situation de tirage avec ordre et sans répétition. On va donc tirer p boules numérotées sans les remettre dans la pile à chaque fois.
Permutations
Les permutations correspondent au cardinal de l’ensemble des bijections d’un ensemble E vers lui-même. C’est le nombre différent de manières d’arranger une liste avec n numéros.
Combinaisons
Les combinaisons correspondent à des tirages sans remise d’objets dont l’ordre n’a pas d’importante. Ex : le tirage du loto.
