Dans cet article, nous allons définir ce qu’est le degré d’un polynôme et comment il se comporte face aux différentes opérations.
Prérequis
Définition du degré d’un polynôme
Soit \mathbb{K} un anneau. Soit un polynôme de \mathbb{K}[X], P = a_n X^n + \ldots + a_1X +a_0. Le degré de P est le plus grand entier k tel que a_k soit différent de 0.
On note le degré de P \deg(P)
Le degré du polynôme nul est par convention - \infty. Je vous invite en regardant la suite à comprendre pourquoi c’est cohérent (notamment avec le produit)
Degré et opérations sur les polynômes
Dans toute la suite, on notera P = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k et Q \displaystyle \sum_{k=0}^m b_k X^k deux polynômes de \mathbb{K}[X] de degrés respectifs n et m.
Degré de la somme
Voici la formule générale pour le degré de la somme.
\deg(P+Q)\leq \max (\deg(P), \deg(Q))
Si n < m, alors on est sûrs que
\deg(P+Q) = \max (\deg(P), \deg(Q)) = m
Si n = m, alors
n = \deg(P+Q) = \max (\deg(P), \deg(Q)) \iff a_n + b_n \neq 0
Degré de la multiplication par un scalaire
Si on multiplie un polynôme par un scalaire \lambda non nul, alors la réponse est simple :
\deg(\lambda P) = \deg(P)
Degré du produit
Pour le produit de 2 polynômes, la formule est la suivante :
\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)
Degré de la composée
Et quand on compose, c’est cette formule-là pour le degré :
\deg(P\circ Q) = \deg(P) \times \deg(Q)
Degré de la dérivée
La formule reliant le degré d’un polynôme et celui de sa dérivée est la suivante dès lors que P et P’ sont non nuls :
\deg(P') = \deg(P) -1
