Le théorème de Lagrange, du nom du célèbre mathématicien italien Joseph-Louis Lagrange, est une pierre angulaire de la théorie des groupes en algèbre. Il est particulièrement important car il établit une relation fondamentale entre le cardinal d’un groupe et celle de ses sous-groupes.
Prérequis
Énoncé du Théorème
Le théorème de Lagrange stipule que dans un groupe fini, le cardinal de chaque sous-groupe divise le cardinal du groupe. En d’autres termes, si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors le cardinal de H (noté |H|) est un diviseur du cardinal de G (noté |G|).
Démonstration du théorème de Lagrange
Maintenant, passons à la démonstration de ce théorème. Pour ce faire, nous allons utiliser le concept de classes à gauche d’un sous-groupe.
Les classes à gauche de H dans G sont les ensembles de la forme gH = \{gh : h \in H\} pour tout g \in G.
Or, l’application
f : \left\{ \begin{array}{ccc} H &\to& gH \\ h & \mapsto & gh \end{array} \right. est une bijection de bijection réciproque :
f^{-1} : \left\{ \begin{array}{ccc} gH &\to& H \\ h & \mapsto & g^{-1}h \end{array} \right. On en déduit donc que |H | = |gH |. De plus, on définit la relation d’équivalence :
x \mathcal{R} y \iff xy^{-1} \in H Je vous laisse montrer que c’est bien une relation d’équivalence. La classe d’équivalence de x est x H . Or, les classes d’équivalence forment une partition de H, prenons E un ensemble de représentants de cette classe d’équivalence. On a alors
|G | = \sum_{x \in E } |xH | = \sum_{x \in E } |H | = |E|.|H|Donc le cardinal de H divise le cardinal de G. On a montré le théorème de Lagrange.
Applications
Voici 2 applications assez directes de ce théorème :
- Si le cardinal d’un groupe est premier et vaut p, alors le cardinal d’un élément voit soit 1 soit p. S’il vaut 1 alors cela ne peut qu’être le neutre. Pour les autres éléments, il vaut p et ce groupe est alors nécessairement cyclique
- Comme le sous-groupe engendré par un élément g a pour cardinal l’ordre de g, l’ordre de g divise le cardinal du groupe.
