Cet article a pour but de présenter les suites adjacentes à travers leur définition, des exemples et des exercices corrigés. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur les suites, à savoir les suites arithmétiques et les suites géométriques.
Définition
Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes si :
- La suite (un) est croissante
- La suite (vn) est décroissante
- La limite de leur différence est nulle :
\lim_{n \to +\infty} v_n - u_n = 0 Alors on a le théorème suivant, appelé théorème des suites adjacentes :
Les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite.
De plus, on peut noter la propriété suivante :
\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \leq u_n \leq l \leq v_n \leq v_0Exemple
Prenons les deux suites géométriques suivantes :
u_n = \dfrac{1}{2^n}, v_n =- \dfrac{1}{2^n}On a :
- (un) est décroissante
- (vn) est croissante
- La limite de leur différence est nulle :
\lim_{n \to +\infty} u_n-v_n = 0Ces deux suites sont donc bien adjacentes.
Exercices corrigés
Démonstration de l’irrationnalité de e
La démonstration de l’irrationnalité de e fait appel à des suites adjacentes
Exercice 39 (suites adjacentes niveau prépa)
Question 1
Pour montrer que ces réels sont bien définis, il suffit de montrer que les éléments sont bien positifs.
On va montrer cette existence par récurrence
- Initialisation : a0 et b0 sont bien définis et positifs
- Hérédité : On suppose que pour un n donné, an et bn existent et sont positifs. Alors, bn+1 existe et est bien positif en tant que moyenne arithmétique de termes positifs. De plus,
a_{n+1}= \sqrt{a_nb_n} \geq 0Et donc existe bien.
Pour la seconde partie de la question , on va le faire sans récurrence. Le cas n = 0 est évident. On va supposer n > 0
Comme :
(\sqrt{a_{n-1}}-\sqrt{b_{n-1}})^2 \geq 0 On a :
a_{n-1} + b_{n-1} - 2 \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \geq 0Ce qui fait qu’en réarrangeant les termes, on obtient :
\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \geq \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}Ce qui nous donne bien :
b_n \geq a_n
On a démontré en première partie de question que
a_n \geq 0
Question 2
On a :
\begin{array}{ll}
a_{n+1} - a_n& = \sqrt{a_nb_n}-a_n \\
&=\sqrt{a_n}(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}) \\
&\geq 0
\end{array}Donc (an) est croissante
De plus,
\begin{array}{ll}
b_{n+1} - b_n& =\dfrac{b_n+a_n}{2}-b_n \\
&=\dfrac{a_n-b_n}{2} \\
&\leq 0
\end{array}Donc (bn) est décroissante. De plus :
\begin{array}{ll}
b_{n+1}-a_{n+1}& = \dfrac{a_n+b_n}{2} - \sqrt{a_nb_n}\\
& \leq \dfrac{a_n+b_n}{2} - \sqrt{a_na_n} \\
&=\dfrac{b_n-a_n}{2}
\end{array}On a alors, par une récurrence laissée au lecteur :
0 \leq b_n -a_n \leq \dfrac{b-a}{2^n}Et donc, par théorème d’encadrement :
\lim_{n \to +\infty} b_n-a_n = 0Les suites (an) et (bn) sont donc bien adjacentes.
NB : La limite commune de (an) et (bn) s’appelle la moyenne arithmético-géométrique de a et b et on la note M(a,b).
Exercices complémentaires
Voici un premier exercice
Montrer que ce couple de suites sont des suites adjacentes
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