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Les suites adjacentes : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de présenter les suites adjacentes à travers leur définition, des exemples et des exercices corrigés. Il est bien d’avoir les connaissances de base sur les suites, à savoir les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Définition

Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes si :

  • La suite (un) est croissante
  • La suite (vn) est décroissante
  • La limite de leur différence est nulle :
\lim_{n \to +\infty} v_n - u_n = 0 

Alors on a le théorème suivant, appelé théorème des suites adjacentes :

Les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite.

De plus, on peut noter la propriété suivante :

\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \leq u_n \leq l \leq v_n \leq v_0

Exemple

Prenons les deux suites géométriques suivantes :

u_n = \dfrac{1}{2^n}, v_n =- \dfrac{1}{2^n}

On a :

  • (un) est décroissante
  • (vn) est croissante
  • La limite de leur différence est nulle :
\lim_{n \to +\infty} u_n-v_n = 0

Ces deux suites sont donc bien adjacentes.

Exercices corrigés

Démonstration de l’irrationnalité de e

La démonstration de l’irrationnalité de e fait appel à des suites adjacentes

Exercice 39 (suites adjacentes niveau prépa)

Suite arithmético-géométrique

Question 1

Pour montrer que ces réels sont bien définis, il suffit de montrer que les éléments sont bien positifs.

On va montrer cette existence par récurrence

  • Initialisation : a0 et b0 sont bien définis et positifs
  • Hérédité : On suppose que pour un n donné, an et bn existent et sont positifs. Alors, bn+1 existe et est bien positif en tant que moyenne arithmétique de termes positifs. De plus,
a_{n+1}= \sqrt{a_nb_n} \geq 0

Et donc existe bien.
Pour la seconde partie de la question , on va le faire sans récurrence. Le cas n = 0 est évident. On va supposer n > 0

Comme :

(\sqrt{a_{n-1}}-\sqrt{b_{n-1}})^2 \geq 0 

On a :

a_{n-1} + b_{n-1} - 2 \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}} \geq 0

Ce qui fait qu’en réarrangeant les termes, on obtient :

\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \geq \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}

Ce qui nous donne bien :

b_n \geq a_n

On a démontré en première partie de question que

a_n \geq 0

Question 2

On a :

\begin{array}{ll}
a_{n+1} - a_n& = \sqrt{a_nb_n}-a_n \\
&=\sqrt{a_n}(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n}) \\
&\geq 0
\end{array}

Donc (an) est croissante

De plus,

\begin{array}{ll}
b_{n+1} - b_n& =\dfrac{b_n+a_n}{2}-b_n \\
&=\dfrac{a_n-b_n}{2} \\
&\leq 0
\end{array}

Donc (bn) est décroissante. De plus :

\begin{array}{ll}
b_{n+1}-a_{n+1}& = \dfrac{a_n+b_n}{2} - \sqrt{a_nb_n}\\
& \leq \dfrac{a_n+b_n}{2}  - \sqrt{a_na_n} \\
&=\dfrac{b_n-a_n}{2}
\end{array}

On a alors, par une récurrence laissée au lecteur :

0 \leq b_n -a_n \leq \dfrac{b-a}{2^n}

Et donc, par théorème d’encadrement :

\lim_{n \to +\infty} b_n-a_n = 0

Les suites (an) et (bn) sont donc bien adjacentes.
NB : La limite commune de (an) et (bn) s’appelle la moyenne arithmético-géométrique de a et b et on la note M(a,b).

Exercices complémentaires

Voici un premier exercice

Suites adjacentes

Montrer que ce couple de suites sont des suites adjacentes

Suite géométrico-harmonique

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