Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de nombre irrationnel. Ces nombres sont parmi ceux qu’on croise le plus dans la nature.
Définition d’un nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel. Dit autrement, c’est un nombre qui ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entier relatifs.
Un nombre réel est soit rationnel soit irrationnel. On va généralement noter cet ensemble \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.
Quelques propriétés des nombres irrationnels
Voici quelques propriétés que l’on a sur les nombres irrationnels :
- L’opposé d’un irrationnel est aussi irrationnel
- L’inverse d’un irrationnel est aussi irrationnel
- La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un nombre irrationnel. Quitte à considérer l’opposé, cela marche aussi pour la différence.
- Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un nombre irrationnel
- Le produit de deux irrationnels ne l’est pas forcément. Exemple : \sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = 1 . De même avec la somme (je vous laisse trouver un contre-exemple)
- Son expansion décimale est non terminale (ce qui signifie qu’il y a une infinité de chiffres après la virgule) et non récurrence (ce qui signifie qu’il n’y a pas de répétition dans les décimales)
Quelques irrationnels célèbres
Voici quelques nombres irrationnels célèbres (dont nous avons montré l’irrationalité) :
- Pi, le plus connu, nous avons même fait un article dédié à son sujet. On sait que \pi \approx 3,14159265358979323846
- Le nombre d’or \phi \approx 1,6180339887
- La racine carrée de 2 \sqrt{2} \approx 1,414213562 . Comme c’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, ce nombre est très vite apparu dans l’antiquité bien que restant mystérieux.
- Le nombre e e \approx 2,7182818
- Le logarithme népérien de 2 \ln(2) \approx 0,693147180
