Progresser-en-maths

Maths + Toi = 1

Carré de Fibonacci
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Suite de Fibonacci et nombre d’or

Voici l’énoncé d’un exercice sur la suite de Fibonacci, c’est un exercice de suites portant sur le nombre d’or. Il est faisable en MPSI, MPII, PCSI et PTSI et de manière générale en première année dans le supérieur.

Question 1

Calculons d’abord la valeur des deux premiers termes :

\begin{array}{l}
u_0 = \displaystyle \sum_{p=0}^0 \binom{p}{0-p} = \binom{0}{0} = 1\\ 
u_1 = \displaystyle \sum_{p=0}^1 \binom{p}{1-p} = \binom{0}{1} +\binom{1}{0}=1\\ 
\end{array}

Qui sont bien les résultats attendus.

Montrons maintenant la deuxième partie de la question :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p}{n+2-p} \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\end{array}

On a utilisé la formule de Pascal
Continuons le calcul :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{Le terme p = 0 est nul}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{On fait un changement d'indice}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-(p+1)} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+2-(p+1)}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
\text{Le terme n+1 est nul dans la première somme}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
u_{n+2} = u_n+u_{n+1}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat attendu.

Question 2 : Expression classique de la suite de Fibonacci

On a une suite récurrente d’ordre 2 dont on connait les deux premiers termes. Elle est donc bien définie.
Calculons son polynôme caractéristique, qui est donc une équation du second degré :

r^2 = r+1 \Leftrightarrow r^2 -r-1 = 0

On calcule le discriminant.

\Delta = 1^2 + 4 \times 1 \times1 =5 

Ce qui nous donne les deux racines suivantes

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

On utilise ensuite les conditions initiales :

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

D’après la théorie des suites récurrentes d’ordre 2, la solution est de la forme :

u_n = a r_1^n +br_2^n

On va donc trouver a et b grâce à u0 et u1 :

\begin{array}{l}
u_0 = ar_1^0 +br_2^0 = a+b = 1 \\
u_1= ar_1^1 +br_2^1 = ar_1+br_2 = 1 \\
\end{array}

On remplace a dans la seconde équation pour trouver b :

\begin{array}{l}
(1-b) r_1 +br_2 = 1 \\
\Leftrightarrow r_1-1 = b(r_1-r_2) \\
\Leftrightarrow b = \dfrac{r_1-1}{r_1-r_2}\\
\Leftrightarrow b = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}
\end{array}

Et on remplace dans la première équation pour trouver a :

a = 1 -b = 1 - \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}

La solution est donc :

\begin{array}{l}
u_n = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} r_1^n + \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} r_2 ^n\\
u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{n+1} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)
\end{array}

Ce qui est une expression de la suite de Fibonacci en fonction de n plus connue que la première.

Question 3 : ratio de la suite de Fibonacci

Faisons directement le calcul

\begin{array}{ll}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}& = \dfrac{ \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{n+2} -\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}\right)}{ \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{n+1} -\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)}\\
&= \dfrac{  \left( \sqrt{5}+1\right)^{n+2} -\left(1-\sqrt{5}\right)^{n+2}}{2\left(\left( \sqrt{5}+1\right)^{n+1} -\left(1-\sqrt{5}\right)^{n+1}\right)}\\
&\sim \dfrac{  \left( \sqrt{5}+1\right)^{n+2} }{2\left( \sqrt{5}+1\right)^{n+1}} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\end{array}

On a donc bien :

\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} 

Ce qui répond bien à la question posée. Une bonne approximation du nombre d’or est φ ≃ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 818 902 449 707 207 204.

Question 4

On a :

u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{n+1} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right) 

Qu’on peut écrire à l’aide du nombre d’or par :

u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^{n+1} -\left(-\dfrac{1}{\varphi}\right)^{n+1}\right) 

On a donc comme équivalent :

u_n \sim \dfrac{\varphi^{n+1}}{\sqrt{5}}

Bonus : D’autres formules avec le nombre d’or

Voici d’autres formules permettant d’écrire le nombre d’or. En voici une avec des fractions

\varphi = 1+ \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\ldots}}}}}

Et en voici une avec des racines

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}}

Laisser un commentaire