Voici l’énoncé d’un exercice sur la suite de Fibonacci, c’est un exercice de suites portant sur le nombre d’or.

Suite de Fibonacci

Question 1

Calculons d’abord la valeur des deux premiers termes :

\begin{array}{l}
u_0 = \displaystyle \sum_{p=0}^0 \binom{p}{0-p} = \binom{0}{0} = 1\\ 
u_1 = \displaystyle \sum_{p=0}^1 \binom{p}{1-p} = \binom{0}{1} +\binom{1}{0} = 0+1=1\\ 
\end{array}

Qui sont bien les résultats attendus.

Montrons maintenant la deuxième partie de la question :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p}{n+2-p} \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\end{array}

On a utilisé la formule de Pascal
Continuons le calcul :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{Le terme p = 0 est nul}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{On fait un changement d'indice}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-(p+1)} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+2-(p+1)}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
\text{Le terme n+1 est nul dans la première somme}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
u_{n+2} = u_n+u_{n+1}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat attendu.

Question 2 : Expression classique de la suite de Fibonacci

On a une suite récurrente d’ordre 2 dont on connait les deux premiers termes. Elle est donc bien définie.
Calculons son polynôme caractéristique, qui est donc une équation du second degré :

r^2 = r+1 \Leftrightarrow r^2 -r-1 = 0

On calcule le discriminant.

\Delta = 1^2 + 4 \times 1 \times1 =5 

Ce qui nous donne les deux racines suivantes

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

On utilise ensuite les conditions initiales :

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

D’après la théorie des suites récurrentes d’ordre 2, la solution est de la forme :

u_n = a r_1^n +br_2^n

On va donc trouver a et b grâce à u0 et u1 :

\begin{array}{l}
u_0 = ar_1^0 +br_2^0 = a+b = 1 \\
u_1= ar_1^1 +br_2^1 = ar_1+br_2 = 1 \\
\end{array}

On remplace a dans la seconde équation pour trouver b :

\begin{array}{l}
(1-b) r_1 +br_2 = 1 \\
\Leftrightarrow r_1-1 = b(r_1-r_2) \\
\Leftrightarrow b = \dfrac{r_1-1}{r_1-r_2}\\
\Leftrightarrow b = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}
\end{array}

Et on remplace dans la première équation pour trouver a :

a = 1 -b = 1 - \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}

La solution est donc :

\begin{array}{l}
u_n = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} r_1^n + \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} r_2 ^n\\
u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\right)^{n+1} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)^{n+1}\right)
\end{array}

Ce qui est une expression de la suite de Fibonacci en fonction de n plus connue que la première.

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