Voici l’énoncé d’un exercice sur la suite de Fibonacci, c’est un exercice de suites portant sur le nombre d’or. Il est faisable en MPSI, MPII, PCSI et PTSI et de manière générale en première année dans le supérieur.

Suite de Fibonacci

Question 1

Calculons d’abord la valeur des deux premiers termes :

\begin{array}{l}
u_0 = \displaystyle \sum_{p=0}^0 \binom{p}{0-p} = \binom{0}{0} = 1\\ 
u_1 = \displaystyle \sum_{p=0}^1 \binom{p}{1-p} = \binom{0}{1} +\binom{1}{0} = 0+1=1\\ 
\end{array}

Qui sont bien les résultats attendus.

Montrons maintenant la deuxième partie de la question :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p}{n+2-p} \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\end{array}

On a utilisé la formule de Pascal
Continuons le calcul :

\begin{array}{l}
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p-1} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=0}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{Le terme p = 0 est nul}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+1-p} + \sum_{p=1}^{n+2} \binom{p-1}{n+2-p}  \\
\text{On fait un changement d'indice}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-(p+1)} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+2-(p+1)}  \\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
\text{Le terme n+1 est nul dans la première somme}\\
u_{n+2} = \displaystyle \sum_{p=0}^{n} \binom{p}{n-p} + \sum_{p=0}^{n+1} \binom{p}{n+1-p}  \\
u_{n+2} = u_n+u_{n+1}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat attendu.

Question 2 : Expression classique de la suite de Fibonacci

On a une suite récurrente d’ordre 2 dont on connait les deux premiers termes. Elle est donc bien définie.
Calculons son polynôme caractéristique, qui est donc une équation du second degré :

r^2 = r+1 \Leftrightarrow r^2 -r-1 = 0

On calcule le discriminant.

\Delta = 1^2 + 4 \times 1 \times1 =5 

Ce qui nous donne les deux racines suivantes

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

On utilise ensuite les conditions initiales :

\begin{array}{l}
r_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\
r_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{array}

D’après la théorie des suites récurrentes d’ordre 2, la solution est de la forme :

u_n = a r_1^n +br_2^n

On va donc trouver a et b grâce à u0 et u1 :

\begin{array}{l}
u_0 = ar_1^0 +br_2^0 = a+b = 1 \\
u_1= ar_1^1 +br_2^1 = ar_1+br_2 = 1 \\
\end{array}

On remplace a dans la seconde équation pour trouver b :

\begin{array}{l}
(1-b) r_1 +br_2 = 1 \\
\Leftrightarrow r_1-1 = b(r_1-r_2) \\
\Leftrightarrow b = \dfrac{r_1-1}{r_1-r_2}\\
\Leftrightarrow b = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}
\end{array}

Et on remplace dans la première équation pour trouver a :

a = 1 -b = 1 - \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}

La solution est donc :

\begin{array}{l}
u_n = \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}} r_1^n + \dfrac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}} r_2 ^n\\
u_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\right)^{n+1} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)^{n+1}\right)
\end{array}

Ce qui est une expression de la suite de Fibonacci en fonction de n plus connue que la première.

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