L’arrangement est un élément essentiel lorsqu’on fait du dénombrement et des probabilités. Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est un arrangement et vous montrer des exemples et exercices corrigés pour bien comprendre cette notion.
Prérequis
- Les factorielles
Définition d’un arrangement
Arrangement sans répétition
Soit n un entier naturel et k \leq n un entier naturel. Un arrangement sans répétition est le nombre de parties ordonnées de k éléments dans un ensemble à n éléments.
On note ce nombre A_{n}^k , ce qui se lit “A n k” et on peut l’écrire ainsi
A_n^k = n(n-1)(n-k+1) = \prod_{i=n-k+1}^n k = \dfrac{n!}{(n-k)!}D’un point de vue application, A_{n}^k est le nombre d’injections d’un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments.
De manière générale, l’arrangement correspond à un tirage sans remise.
N-B : Si k > n , on peut dire que A_{n}^k vaut 0.
Arrangement avec répétition
Un arrangement avec répétition se fait lorsqu’on a k objets qu’on veut mettre dans n cases différentes et que chaque case peut recevoir autant d’objets que nécessaires.
D’un point de vue mathématique, le nombre d’arrangements avec répétition est le nombre d’applications d’un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments. Le nombre d’arrangement est donc n^k.
On peut représenter un tel ensemble par \{ (x_1, \ldots, x_k), x_i \in E \} avec E de cardinal n. Un tel ensemble est appelé une p-liste.
Il faut retenir que dans un arrangement l’ordre des éléments est important. Il peut ensuite être avec ou sans répétition, ce qui va mener à 2 formules différentes.
Exemples
On a :
- On tire 3 cartes dans un jeu de 52 cartes, sans remise et on regarde les cartes obtenues dans l’ordre. On a alors A_{52}^{3} = 52 \times 51 \times 50 = 132 600 possibilités.
- Si on choisit 2 lettres au hasard dans un alphabet \{ A,B,C,D,E\}, on a A_{5}^{2} = 5 \times 4= 20 arrangements possibles
- On tire k fois des boules numérotées de 1 à n avec remise et on regarde la suite des numéros tirés. Il s’agit d’un arrangement avec répétition. On a donc comme formule n^k pour le nombre de résultats possibles
- Le dénombrement du nombre de possibilités d’orientation d’un Rubik’s cube
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Déterminer le nombre de mots de cinq lettres, formés avec les 26 lettres de l’alphabet
Corrigé : Il s’agit d’un arrangement avec répétition, on va donc utiliser directement la formule avec n = 26 et k = 5, le résultat recherché est donc 26^5 = 11 881 376 .
Bien sûr, on ne pose pas la question de si les mots existent ou non.
Exercice 2
Enoncé : Une plaque d’immatriculation française d’une voiture comporte deux lettres. Elles sont distinctes de O, I et U pour éviter la confusion avec 0, 1 et V. Puis elles comportent trois chiffres entre 0 et 9 inclus puis à nouveau deux lettres distinctes de O, I et U. Déterminer le nombre de plaques d’immatriculation différentes possibles.
Corrigé : Pour cet exercice, il s’agit à nouveau d’arrangements à répétition. On a 23 possibilités pour les lettres (4 lettres en tout) et 10 pour chacun des chiffres. Le résultat recherché est donc tout simplement 23^4 \times 10^3 = 279 841 000
Exercice 3
Enoncé : Dans une course de Formule 1, il y a 20 pilotes. Combien de podiums sont possibles ?
Corrigé : Comme l’ordre est important et qu’un seul pilote va prendre chaque place (pas de répétition), il s’agit d’un arrangement sans répétition. On a donc A_{20}^3 = 20 \times 19\times 18 = 6840 possibilités
Exercice 4
Et si vous alliez dénombrer le nombre d’anagrammes ?
