Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice montrant l’irrationalité du nombre e. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des séries et aussi celui des suites. C’est un exercice de première ou deuxième année selon ce le résultat qu’on admet. En voici l’énoncé :

Nous avons aussi récemment démontré l’irrationalité de racine de 2 par plusieurs méthodes.

Utilisation de suites adjacentes

Posons les suites suivantes :

\begin{array}{l}
u_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\\
v_n = u_n + \dfrac{1}{n.n!}
\end{array}

Montrons que ces deux suites sont adjacentes.
D’une part, (un) est strictement croissante :

\begin{array}{l}
u_{n+1}-u_n  \\
= \displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{k!}-\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\\
=\dfrac{1}{(n+1)!} > 0
\end{array}

D’autre part, (vn) est strictement décroissante :

\begin{array}{l}
v_{n+1}-v_n  \\
= u_{n+1} + \dfrac{1}{(n+1).(n+1)!}-\left(u_n + \dfrac{1}{n.n!}\right)\\
= u_{n+1} -u_n + \dfrac{1}{(n+1).(n+1)!}- \dfrac{1}{n.n!}\\
= \dfrac{1}{(n+1)!}+ \dfrac{1}{(n+1).(n+1)!}- \dfrac{1}{n.n!}\\
\end{array}

On met tout au même dénominateur, le dénominateur commun est n(n+1)(n+1)! :

\begin{array}{l}
= \dfrac{(n+1)n}{n(n+1)(n+1)!}+ \dfrac{n}{n(n+1).(n+1)!}- \dfrac{(n+1)(n+1)}{n(n+1).(n+1)!}\\
=\dfrac{(n+1)n +n -(n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}\\
=\dfrac{n^2+n +n -n^2-2n-1}{n(n+1)(n+1)!}\\
=\dfrac{-1}{n(n+1)(n+1)!}<0\\
\end{array}

Maintenant, la différence entre (un) et (vn) tend vers 0. En effet :

v_n - u_n = \dfrac{1}{n.n!}

Et on a :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n.n!} =0

On a donc montré que :

  • (un) est croissante
  • (vn) est décroissante
  • Leur différence tend vers 0

Les suites (un) et (vn) sont donc adjacentes.

De plus, résultat admis en première année (exercice : le démontrer à l’aide de la formule de Taylor Lagrange) et connu en deuxième année :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} u_n =\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} v_n =e

Démonstration de l’irrationalité de e

Démontrons par l’absurde que e est irrationnel. Supposons que e soit rationnel, c’est à dire qu’on peut l’écrire sous la forme

e = \dfrac{p}{q}, p \in \mathbb{N}, q\in \mathbb{Z^*}, p\wedge q =1

On a, d’après la première partie des calculs :

\forall n \in \mathbb{N},u_n < \dfrac{p}{q} < v_n

Ce sont bien des inégalités strictes car les suites sont strictement monotones. En remplaçant par les définitions des 2 suites, on a :

\forall n \in \mathbb{N},\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} < \dfrac{p}{q} < \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + \dfrac{1}{n.n!}

On a alors, en multipliant par q! pour n = q :

\forall n \in \mathbb{N},\displaystyle \sum_{k=0}^q \dfrac{q!}{k!} < p(q-1)! < \sum_{k=0}^q \dfrac{q!}{k!} + \dfrac{1}{q}

On remarque que

A = \sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{k!} 

est un entier.
On a donc

A < p(q-1)!< A + \dfrac{1}{q} < A+1

Or, p(q-1)! est un entier. Et il est strictement encadré par 2 entiers consécutifs. Ce n’est pas possible. On aboutit donc à une contradiction. Le nombre d’Euler e n’est donc pas rationnel. On a bien démontré le résultat voulu.

En conclusion, voici les 500 premières décimales de e :

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663
0353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864454905987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016768396424378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035

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