Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice montrant l’irrationalité du nombre ln(2) à travers plusieurs questions. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre de l’arithmétique et aussi celui des entiers. C’est un exercice faisable dès première dans le supérieur. En voici l’énoncé :
Enoncé
Si vous êtes intéressé par les sujets d’irrationnalité, nous avons aussi démontré
Si vous n’êtes pas au point sur les logarithmes, allez voir notre article dédié !
Démonstration de l’irrationalité de ln(2)
Pour rappel, un peu de culture : ln(2) ≈ 0.69314718056.
Démarrons la démonstration, vous allez voir, elle n’est pas très longue ! On va utiliser les polynômes de Legendre. On va poser une petite variante, en définissant Ln par
\forall n \in \N, L_n(x) = \dfrac{1}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \left(x^n(1-x)^n\right)Lemme
On va démontrer le lemme suivant
\forall a \in \mathbb{Q}, e^a \notin \mathbb QPour démontrer ce lemme, on va poser l’intégrale suivante
\forall n \in \N, I_n = \int_0^1 e^{at}L_n(t) dtUn peu comme on a pu faire avec les polynômes de Legendre et les polynômes de Hermite, on fait n intégrations pour obtenir (on dérive n fois l’exponentielle et on intègre n fois le polynôme) :
I_n = (-1)^n \left( \dfrac{a^n}{n! } \right) \int_0^1 e^{at} t^n (1-t)^n dtUne majoration classique et à connaitre est
t(1-t) \leq \dfrac{1}{4}On peut donc majorer In
\begin{array}{ll}
|I_n| &\leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle \int_0^1 e^{at} t^n (1-t)^ndt\\
& \leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle \int_0^1 e^{at} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n dt\\
& \leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle \int_0^1 e^{a} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n dt\\
& \leq \dfrac{e^a}{n! } \left(\dfrac{a}{4}\right)^n
\end{array}De par, cette inégalité, on obtient que
\lim_{n \to + \infty} |I_n| = 0 Maintenant, d’autre part, en développant avec l’expression avec le binôme de Newton et en dérivant n fois, on obtient que
L_n(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^kX^kDe cette expression, on en déduit que
L_n(X) \in \Z [X]
De plus, regardons
\int_0^1 e^{at}t^k dtEn faisant k intégrations par parties, on obtient
\exists A_k,B_k \in \Z, \int_0^1 e^{at}t^kdt =\dfrac{1}{a^{k+1}} A_k+ B_ke^a De plus, comme
L_n(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^kX^kOn obtient
I_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k \int_0^1 e^{at}t^kdtCe qui se simplifie en
I_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k\dfrac{1}{a^{k+1}} (A_k + B_ke^a )Et donc en séparant en deux les sommes :
I_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} \dfrac{a^{n-k}}{a^{n+1}}(-1)^k A_k +e^a \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k \dfrac{a^{n-k}}{a^{n+1}} B_kCe qu’on peut réécrire en
\exists C_n, D_n \in \Z, I_n = \dfrac{1}{a^{n+1}}(C_n + e^a D_n)Et maintenant, par l’absurde, supposons que
\exists p \in \Z, \exists q \in\N^*, e^a = \dfrac{p}{q}On a, d’après les calculs précédents :
\dfrac{1}{qa^{n+1}} \leq \dfrac{1}{a^{n+1}} |C_n + \dfrac{p}{q}D_n| = |I_n|Ce qui contredit la majoration obtenue précédemment.
Conclusion : ea est irrationnel
Retour à la démonstration
Démontrons la propriété par l’absurde. Supposons que ln(2) est rationnel, on a donc :
\exists p \in \Z, \exists q \in\N^*, \ln(2) = \dfrac{p}{q}On a alors :
e^{\frac{p}{q}} = 2 Or, on a montré dans le lemme que l’exponentielle d’un rationnel est irrationnelle. On aboutit donc à une contradiction.
Conclusion : ln(2) est irrationnel
Démonstration à travers un sujet de Mines-Ponts
Le sujet maths 2 de Mines-Ponts de 2002 démontre l’irrationnalité de ln(2) à travers une démonstration différente. Je vous laisse directement découvert le sujet
Cet exercice vous a plu ?
Cette preuve est en grande partie inspirée de cette source
