Progresser-en-maths

Maths + Toi = 1

logarithme propriétés
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Irrationalité de ln(2)

Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice montrant l’irrationalité du nombre ln(2) à travers plusieurs questions. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre de l’arithmétique et aussi celui des entiers. C’est un exercice faisable dès première dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Enoncé

Irrationalité de ln(2)

Si vous êtes intéressé par les sujets d’irrationnalité, nous avons aussi démontré

Si vous n’êtes pas au point sur les logarithmes, allez voir notre article dédié !

Démonstration de l’irrationalité de ln(2)

Pour rappel, un peu de culture : ln(2) ≈ 0.69314718056.

Démarrons la démonstration, vous allez voir, elle n’est pas très longue ! On va utiliser les polynômes de Legendre. On va poser une petite variante, en définissant Ln par

\forall n \in \N, L_n(x) = \dfrac{1}{n!} \dfrac{d^n}{dx^n} \left(x^n(1-x)^n\right)

Lemme

On va démontrer le lemme suivant

\forall a \in \mathbb{Q},  e^a \notin \mathbb Q

Pour démontrer ce lemme, on va poser l’intégrale suivante

\forall n \in \N, I_n = \int_0^1 e^{at}L_n(t) dt

Un peu comme on a pu faire avec les polynômes de Legendre et les polynômes de Hermite, on fait n intégrations pour obtenir (on dérive n fois l’exponentielle et on intègre n fois le polynôme) :

I_n = (-1)^n \left( \dfrac{a^n}{n! } \right) \int_0^1 e^{at} t^n (1-t)^n dt

Une majoration classique et à connaitre est

t(1-t) \leq \dfrac{1}{4}

On peut donc majorer In

\begin{array}{ll}
|I_n| &\leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle \int_0^1 e^{at} t^n (1-t)^ndt\\
& \leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle  \int_0^1 e^{at} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n dt\\
& \leq \dfrac{a^n}{n! } \displaystyle  \int_0^1 e^{a} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n dt\\
& \leq \dfrac{e^a}{n! }  \left(\dfrac{a}{4}\right)^n 

\end{array}

De par, cette inégalité, on obtient que

\lim_{n \to + \infty} |I_n|  = 0 

Maintenant, d’autre part, en développant avec l’expression avec le binôme de Newton et en dérivant n fois, on obtient que

L_n(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^kX^k

De cette expression, on en déduit que

L_n(X) \in \Z [X]

De plus, regardons

\int_0^1 e^{at}t^k dt

En faisant k intégrations par parties, on obtient

\exists A_k,B_k \in \Z, \int_0^1 e^{at}t^kdt =\dfrac{1}{a^{k+1}} A_k+ B_ke^a 

De plus, comme

L_n(X) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^kX^k

On obtient

I_n =  \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k \int_0^1 e^{at}t^kdt

Ce qui se simplifie en

I_n =  \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k\dfrac{1}{a^{k+1}} (A_k + B_ke^a )

Et donc en séparant en deux les sommes :

I_n =  \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} \dfrac{a^{n-k}}{a^{n+1}}(-1)^k A_k +e^a  \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{n} (-1)^k \dfrac{a^{n-k}}{a^{n+1}} B_k

Ce qu’on peut réécrire en

\exists C_n, D_n \in \Z, I_n = \dfrac{1}{a^{n+1}}(C_n + e^a D_n)

Et maintenant, par l’absurde, supposons que

\exists p \in \Z, \exists q \in\N^*, e^a = \dfrac{p}{q}

On a, d’après les calculs précédents :

\dfrac{1}{qa^{n+1}} \leq \dfrac{1}{a^{n+1}} |C_n + \dfrac{p}{q}D_n|  = |I_n|

Ce qui contredit la majoration obtenue précédemment.
Conclusion : ea est irrationnel

Retour à la démonstration

Démontrons la propriété par l’absurde. Supposons que ln(2) est rationnel, on a donc :

\exists p \in \Z, \exists q \in\N^*, \ln(2) = \dfrac{p}{q}

On a alors :

e^{\frac{p}{q}} = 2 

Or, on a montré dans le lemme que l’exponentielle d’un rationnel est irrationnelle. On aboutit donc à une contradiction.

Conclusion : ln(2) est irrationnel

Démonstration à travers un sujet de Mines-Ponts

Le sujet maths 2 de Mines-Ponts de 2002 démontre l’irrationnalité de ln(2) à travers une démonstration différente. Je vous laisse directement découvert le sujet

Cet exercice vous a plu ?

Cette preuve est en grande partie inspirée de cette source

2 COMMENTS

Laisser un commentaire