Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice montrant l’irrationalité du nombre Pi à travers plusieurs questions. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des intégrales et aussi celui des entiers. C’est un exercice faisable dès première dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Si vous êtes intéressé par les sujets d’irrationnalité, nous avons aussi démontré

Pour apprendre plusieurs anecdotes sur Pi, allez voir l’article que nous lui avons dédié !

Question 1

Première partie de la question

Pour cette première question, utilisation la formule du binôme de Newton :

\begin{array}{l}
P(X) =\dfrac{1}{n!} X^n(p-qX)^n\\
= \dfrac{1}{n!} X^n \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^{n-k} q^k X^k\\
=  \displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \dfrac{p^{n-k} q^k}{n!} X^{n+k}\\
\text{On fait un changement d'indice}\\
=  \displaystyle \sum_{k=n}^{2n}\binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} q^{k-n}}{n!} X^{k}
\end{array}

On aboutit alors au résultat suivant :

a_k = \binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} q^{k-n}}{n!} \text{ si } k \in \{ n, \ldots 2n \}

Et sinon

a_k = 0 \text{ si } k \notin \{ n, \ldots 2n \}

Seconde partie de la question

On pense à utiliser la formule de Taylor qui nous que

a_k = \dfrac{P_n^{(k)}(0)}{k!}

Et donc tout simplement

P_n^{(k)}(0) = k! a_k

Ce qui nous permet d’en déduire que

P_n^{(k)}(0) = 0 \text{ si } k \notin \{ n, \ldots 2n \}

Et que sinon, si k∈ {n,…2n}

\begin{array}{l}
P_n^{(k)}(0) \\
 = \displaystyle k!\binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} q^{k-n}}{n!} \\
=\displaystyle  \dfrac{k!}{n!}\dfrac{n!}{(k-n)!(2n-k)!}p^{2n-k} q^{k-n}\\
\end{array}

Comme k ≥ n, on a bien un produit d’entiers. Et donc

P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}

Question 2

Un subterfuge permet de répondre rapidement à la question :

\begin{array}{l}
P_n\left( \dfrac{p}{q}-X\right) \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^n\left(p-q\left(\dfrac{p}{q}-X\right)\right)^n  \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^n\left(p-p+ qX\right)^n  \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^nq^nX^n  \\
= \dfrac{1}{n!}\left( p-qX\right)^nX^n  \\
= P_n(X)
\end{array}

Et maintenant, dérivons cette égalité

\begin{array}{l}
P_n\left( \dfrac{p}{q}-X\right) =P_n(X)\\
\Leftrightarrow (-1)^k P_n^{(k)}\left( \dfrac{p}{q}-X\right) =P_n^{(k)}(X)
\end{array}

Il suffit maintenant d’identifier X en 0 :

 (-1)^k P_n^{(k)}\left( \dfrac{p}{q}\right) =P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}

Question 3

Majorons la valeur absolue de In :

\begin{array}{l}
|I_n| = \left| \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\dfrac{1}{n!} t^n (p-qt)^n \sin(t) dt \right|\\
\leq  \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\left|\dfrac{1}{n!}  t^n (p-qt)^n \sin(t) dt \right| \\
\leq  \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\left|\dfrac{1}{n!}  t^n p^n dt \right|\\
= \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\dfrac{1}{n!}  t^n p^n dt \\
= \displaystyle \dfrac{1}{n!} \left[ \dfrac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^{\frac{p}{q}} p^n \\
= \displaystyle \dfrac{p^{2n+1}}{q^n(n+1)!}  \\
= \displaystyle \left(\dfrac{p^{2}}{q} \right)^n\dfrac{1}{q(n+1)!}
\end{array}

De plus, on sait que

 \left(\dfrac{p^{2}}{q} \right)^n = o(n!)

Ce qui nous permet d’avoir la conclusion suivante :

\lim_{n \rightarrow + \infty} |I_n| = 0

De plus, on sait que :

\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[, 0 < p - qt < p 

Et donc,

\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[, P_n(t) = \dfrac{1}{n!}(p-qt)^n t^n > 0 

De plus,

\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[=\left]0, \pi\right[, \sin(t) >0 

Ce qui nous permet de conclure, par produit et positivité de l’intégrale, que In > 0.

Question 4

On va intégrer 2n+1 fois par parties In. On obtient alors la résultat suivant :

I_n = \left[-\cos t P_n(t)+ \sin t P_n'' (t)+  \cos t P_n'' (t)+ \ldots + (-1)^{n-1}\cos(t)P^{(2n)}(t)\right]_0^{\pi}\\
+ (-1)^n \int_0^{\pi} P_n^{(2n+1)}(t) \cos(t) dt

La partie avec l’intégrale est nulle à cause du degré de Pn. On sait aussi d’après les deux premières questions que :

\forall k \in \mathbb{N}, P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z} \text{ et } P_n^{(k)}\left(\frac{p}{q}\right) \in \mathbb{Z}

Ce qui nous donne une somme d’entiers et nous permet d’affirmer que

I_n \in \mathbb{Z}

Et avec la question précédente qui nous donne la positivité, on obtient que :

I_n \in \mathbb{N}^*

Question 5

On a montré :

  • A la question 3 que In tend vers 0 en + ∞
  • A la question 4, que In est un entier non nul

On aboutit alors à une contradiction

\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0,|I_n| \leq \dfrac{1}{2}

Ce qui est contradiction avec le fait que In soit un entier non nul.

On aboutit alors à la conclusion suivante : le nombre pi est irrationnel. Voilà, nous avons montré l’irrationalité de Pi !

Cet exercice vous a plu ?

1 Comment

Laisser un commentaire