Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice montrant l’irrationalité du nombre Pi à travers plusieurs questions. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des intégrales et aussi celui des entiers. C’est un exercice faisable dès première dans le supérieur. En voici l’énoncé :
Si vous êtes intéressé par les sujets d’irrationnalité, nous avons aussi démontré
Pour apprendre plusieurs anecdotes sur Pi, allez voir l’article que nous lui avons dédié !
Question 1
Première partie de la question
Pour cette première question, utilisation la formule du binôme de Newton :
\begin{array}{l}
P(X) =\dfrac{1}{n!} X^n(p-qX)^n\\
= \dfrac{1}{n!} X^n \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^{n-k}(-1)^k q^k X^k\\
= \displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \dfrac{p^{n-k}(-1)^k q^k}{n!} X^{n+k}\\
\end{array}On fait un changement d’indice :
P(X) = \displaystyle \sum_{k=n}^{2n}\binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} (-1)^{k-n}q^{k-n}}{n!} X^{k}
On aboutit alors au résultat suivant :
a_k = \binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} (-1)^{k-n}q^{k-n}}{n!} \text{ si } k \in \{ n, \ldots 2n \}Et sinon
a_k = 0 \text{ si } k \notin \{ n, \ldots, 2n \}Seconde partie de la question
On pense à utiliser la formule de Taylor qui nous donne que
a_k = \dfrac{P_n^{(k)}(0)}{k!}Et donc tout simplement
P_n^{(k)}(0) = k! a_kCe qui nous permet d’en déduire que
P_n^{(k)}(0) = 0 \text{ si } k \notin \{ n, \ldots 2n \}Et que sinon, si k∈ {n,…2n}
\begin{array}{l}
P_n^{(k)}(0) \\
= \displaystyle k!\binom{n}{k-n} \dfrac{p^{2n-k} q^{k-n}}{n!} \\
=\displaystyle \dfrac{k!}{n!}\dfrac{n!}{(k-n)!(2n-k)!}p^{2n-k} q^{k-n}\\
\end{array}Comme k ≥ n, on a bien un produit d’entiers. Et donc
P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}Question 2
Un subterfuge permet de répondre rapidement à la question :
\begin{array}{l}
P_n\left( \dfrac{p}{q}-X\right) \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^n\left(p-q\left(\dfrac{p}{q}-X\right)\right)^n \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^n\left(p-p+ qX\right)^n \\
= \dfrac{1}{n!}\left( \dfrac{p}{q}-X\right)^nq^nX^n \\
= \dfrac{1}{n!}\left( p-qX\right)^nX^n \\
= P_n(X)
\end{array}Et maintenant, dérivons cette égalité
\begin{array}{l}
P_n\left( \dfrac{p}{q}-X\right) =P_n(X)\\
\Leftrightarrow (-1)^k P_n^{(k)}\left( \dfrac{p}{q}-X\right) =P_n^{(k)}(X)
\end{array}Il suffit maintenant d’identifier X en 0 :
(-1)^k P_n^{(k)}\left( \dfrac{p}{q}\right) =P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z}Question 3
Majorons la valeur absolue de In :
\begin{array}{l}
|I_n| = \left| \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\dfrac{1}{n!} t^n (p-qt)^n \sin(t) dt \right|\\
\leq \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\left|\dfrac{1}{n!} t^n (p-qt)^n \sin(t) dt \right| \\
\leq \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\left|\dfrac{1}{n!} t^n p^n dt \right|\\
= \displaystyle \int_0^{\frac{p}{q}}\dfrac{1}{n!} t^n p^n dt \\
= \displaystyle \dfrac{1}{n!} \left[ \dfrac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^{\frac{p}{q}} p^n \\
= \displaystyle \dfrac{p^{2n+1}}{q^n(n+1)!} \\
= \displaystyle \left(\dfrac{p^{2}}{q} \right)^n\dfrac{1}{q(n+1)!}
\end{array}De plus, on sait que
\left(\dfrac{p^{2}}{q} \right)^n = o(n!)Ce qui nous permet d’avoir la conclusion suivante :
\lim_{n \rightarrow + \infty} |I_n| = 0De plus, on sait que :
\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[, 0 < p - qt < p Et donc,
\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[, P_n(t) = \dfrac{1}{n!}(p-qt)^n t^n > 0 De plus,
\forall t \in \left]0, \frac{p}{q}\right[=\left]0, \pi\right[, \sin(t) >0 Ce qui nous permet de conclure, par produit et positivité de l’intégrale, que In > 0.
Question 4
On va intégrer 2n+1 fois par parties In. On obtient alors la résultat suivant :
I_n = \left[-\cos t P_n(t)+ \sin t P_n'' (t)+ \cos t P_n'' (t)+ \ldots + (-1)^{n-1}\cos(t)P^{(2n)}(t)\right]_0^{\pi}\\
+ (-1)^n \int_0^{\pi} P_n^{(2n+1)}(t) \cos(t) dtLa partie avec l’intégrale est nulle à cause du degré de Pn. On sait aussi d’après les deux premières questions que :
\forall k \in \mathbb{N}, P_n^{(k)}(0) \in \mathbb{Z} \text{ et } P_n^{(k)}\left(\frac{p}{q}\right) \in \mathbb{Z}Ce qui nous donne une somme d’entiers et nous permet d’affirmer que
I_n \in \mathbb{Z}Et avec la question précédente qui nous donne la positivité, on obtient que :
I_n \in \mathbb{N}^*Question 5
On a montré :
- A la question 3 que In tend vers 0 en + ∞
- A la question 4, que In est un entier non nul
On aboutit alors à une contradiction
\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0,|I_n| \leq \dfrac{1}{2}Ce qui est contradiction avec le fait que In soit un entier non nul.
On aboutit alors à la conclusion suivante : le nombre pi est irrationnel. Voilà, nous avons montré l’irrationalité de Pi !
Corrigé en vidéo
Pour ceux qui préfèrent, voici la correction en vidéo :
Cet exercice vous a plu ?
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre travail de qualité !
Petite question : pouvez m’indiquez la source d’où proviennent tout vos exos car si c’est un livre il m’intéresse…
Bonjour,
La source c’est mes connaissances de maths et des exos que j’ai pu voir au cours de ma prépa, soit en cours, soit de mon côté !
N’hésitez pas d’ailleurs à proposer des cours et des exercices