Exercice corrigé : Irrationalité de racine de 2

Voici l’énoncé d’un exercice sur l’irrationalité de racine de 2, ce nombre qui vaut environ 1,4142135623 mais si vous retenez 1,414 c’est déjà bien. C’est un exercice se rapportant au chapitre des nombres réels. Il est nécessaire de connaitre le cours sur les racines.
Voici l’énoncé, qui est tout simple :

Si vous êtes intéressés par le fait de montrer que certains réels sont irrationnels, nous vous conseillons d’aller voir nos articles sur :

• L’irrationalité de e
• L’irrationalité de pi
• L’irrationalité de ln(2)

Méthode 1 : La plus classique

Nous allons faire une démonstration par l’absurde pour l’unicité. Supposons qu’il existe 2 entiers relatifs p et q premiers entre eux tels que

\exists p \in \mathbb Z, q\in \mathbb{N}^*, \sqrt{2} = \dfrac{p}{q}

Elevons cette égalité au carré :

2 = \dfrac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 2q^2

On va maintenant utiliser un peu d’arithmétique, comme q ne divise pas p, q² ne divise pas p². Et on a donc :

2 | p^2 

Maintenant prouvons le lemme suivant : Si p nombre premier divise n² alors p divise n. Pour cela, on utilise le théorème des nombres premiers et on écrit

\begin{array}{l}
n = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} \\
\text{On a alors,}\\
n^2 = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{2\alpha_i} \\
\end{array}

Donc si p n’apparait pas dans la décomposition des facteurs premiers de n, il n’apparaitra pas dans les facteurs premiers de n².

On a ainsi

2 | p

Il existe donc p’ tel que p = 2p’

De cette manière, on a :

(2p')^2 = 2 q \Leftrightarrow 4p'^2 = 2q^2 \Leftrightarrow 2p'^2 = q^2

Et donc, par le même raisonnement, on obtient que 2 divise q.
Ainsi, 2 divise à la fois p et q. Cela contredit l’hypothèse initiale que p et q sont premiers entre eux.

Donc la racine de 2 est irrationnelle !

On peut montrer que la racine d’un nombre n qui n’est pas un carré parfait n’est pas rationnelle. Pour rappel, un carré parfait n est un nombre tel qu’il existe k entier tel que n = k². Sauriez-vous le faire ?

Méthode 2 : Par le critère d’Eisenstein

Alors cette méthode est un peu overkill. Ou comme diraient mes profs de prépa, on utilise un marteau pour abattre une mouche.
On peut utiliser le critère d’Eisenstein :

\sqrt{2} \text{ est racine du polynôme } X^2 -2

On vérifie bien les critères, c’est à dire que :

\begin{array}{l}
\text{2 est un nombre premier}\\
2\not | a_0\\
2 | a_2 = 2\\
2 | a_1 = 0\\
2^2 = 4 \not | a_2 =2
\end{array}

Donc les racines de ce polynôme sont irrationnelles, ce qui fait que la racine de 2 est irrationnelle ce qui est bien le résultat recherché.

Méthode 3 : Par la valuation

On repart de la méthode 1 au point où on a cette égalité :

p^2 = 2q^2

Regardons combien de 2 nous avons de chaque côté dans la décomposition en facteurs premiers. Les nombres au carré ont une puissance paire dans la décomposition en nombres premiers, ce qui est prouvé par cet élément écrit plus haut :

\begin{array}{l}
n = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} \\
\text{On a alors,}\\
n^2 = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i^{2\alpha_i} \\
\end{array}

On obtient alors que le terme de gauche a un nombre pair de 2 dans sa décomposition. Le terme de droite a quand à lui un nombre impair (nombre pair venant de q² auquel on ajoute 1 à cause du 2 en facteur).

Méthode 4 : Par le développement en fractions continues

Cette fois, c’est un bazooka qu’on utilise pour abattre une mouche. Pour démontrer l’irrationnalité de racine de 2, on va utiliser un développement en fractions continues :

On utilise l’égalité suivante :

\begin{array}{l}
\sqrt{2} = 1+\sqrt{2}-1 \\
\sqrt{2} = 1+ \dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{1 +\sqrt{2}}
\end{array}

On va donc pouvoir avoir la suite d’égalité suivantes :

\begin{array}{l}
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{1 +\sqrt{2}}\\
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 +\sqrt{2}-1}\\
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \frac{1}{1 +\sqrt{2}}}\\
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \frac{1}{2 +\frac{1}{1 +\sqrt{2}}}}\\
\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \frac{1}{2 +\frac{1}{2 +\frac{1}{1 +\sqrt{2}}}}}\\
\end{array}

Le développement en fractions continues est donc de la forme [1,2,2,2,…] et n’est donc pas fini, cela signifie donc que la racine de 2 est irrationnelle.

On a donc vu 4 méthodes pour démontrer l’irrationalité de racine 2.

Cet exercice vous a plu ?