Dans cet article nous discuterons de la matrice compagnon et des quelques éléments à savoir le concernant. Nous noterons A l’anneau commutatif unitaire où nous travaillons, pour une première approche vous pouvez penser à votre corps préféré \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}.
Prérequis
Définition
Prenons P =\displaystyle \sum_{k=0}^n p_kX^k \in A[X] un polynôme unitaire de degré n.
On note \mathcal{C}(P) la matrice compagnon de P. C’est la matrice carrée dont les coefficients sont des 1 sous la diagonale principale, et l’opposé des coefficients sur la dernière colonne, des 0 ailleurs, disposés comme dessous:
\mathcal{C}(P) := \begin{pmatrix}
0&&&-p_0\\
1&\ddots&&-p_1\\
&\ddots&\ddots&\vdots\\
&&1&-p_{n-1}\\
\end{pmatrix} \in M_{n}(A).Principale propriété
La matrice compagnon est une “section” du polynôme caractéristique. Si on note \mathcal{U}_n l’ensemble des polynômes unitaires de A[X] de degré n, on obtient :
\begin{align*}
M_n(A) & \stackrel{\chi}{\longrightarrow} \mathcal{U}_n \subset A[X], \\
M_n(A) & \stackrel{\mathcal{C}}{\longleftarrow} \mathcal{U}_n \subset A[X], \\
\chi \circ \mathcal{C } & = Id_{U_n}, \\
\iff & \forall P \in A[X], \ \chi_{\mathcal{C(P)}}(X) = P(X) .
\end{align*}On procède par récurrence sur le degré du polynôme. Dans le cas où \deg(P) = n = 1, comme P est unitaire, P = X + p_0, p_0 \in A.
\mathcal{C}(P) = \mathcal{C}(X + p_0) = (-p_0) \in M_1(A), \\
\chi_{C(P)} = \det((X + p_0)) = X + p_0.Supposons désormais que \deg(P) = n > 1 et que P(X) = \sum_{k=0}^n p_kX^k \in A[X]. On se permet de noter \frac{P - p_0}{X} le polynôme X^{n-1} + p_{n-1}X^{n-2} + \dots + p_1 \in \mathcal{U}_{n-1}.
\begin{align*}
\chi_{\mathcal{C(P)}}(X) & = \det(X I_n - \mathcal{C}(P)) \\
& = \begin{vmatrix}
X&&&p_0\\
-1&\ddots&&p_1\\
&\ddots&\ddots&\vdots\\
&&-1&X + p_{n-1}\\
\end{vmatrix} \text{ on développe sur la première ligne}\\
& = X\begin{vmatrix}
X&&&p_1\\
-1&\ddots&&p_2\\
&\ddots&\ddots&\vdots\\
&&-1&X + p_{n-1}\\
\end{vmatrix} + (-1)^{n+1}p_0\begin{vmatrix}
-1&X&&\\
&\ddots&\ddots&\\
&&\ddots&X\\
&&&-1\\
\end{vmatrix} \\
&= X \det(X I_{n-1} - \mathcal{C}(\frac{P - p_0}{X} )) + (-1)^{n+1}p_0(-1)^{n-1}\\
&= X(\frac{P - p_0}{X} ) + p_0 ~~~~~~~~\text{ par récurrence} \\
& = P - p_0 + p_0 = P.
\end{align*}Exercice
- Quelles matrices compagnons sont nilpotentes?
- Quelles sont les valeurs propres d’une matrice \mathcal{C}(P) ?
- Montrer que M_n(A) \stackrel{\chi}{\longrightarrow} \mathcal{U}_n est surjectif.
- Montrer que M_n(A) \stackrel{\mathcal{C}}{\longleftarrow} \mathcal{U}_n est injectif.
- Montrer que \mathcal{C }\circ \chi n’est pas une bijection de M_n(A).
- Un endomorphisme est dit cyclique lorsqu’on peut trouver un vecteur dont les images itérés (par l’endomorphisme) engendre l’espace vectoriel. Montrer que dans le cas où A est un corps, l’endomorphisme lié à une matrice compagnon est cyclique.
- Lire les articles portant sur la cyclicité.
