Dans cet article nous présenterons la formule de développement sur une ligne du déterminant. Muni d’une démonstration élémentaire sans trop de prérequis sur le déterminant.
Prérequis
Matrice extraite
Une matrice extraite de M \in M_n(A) est obtenue en “ignorant” certaines lignes et colonnes de M . Nous noterons M_{\hat{i},\hat{j}} la matrice extraite de M à laquelle on a retiré la i-ème ligne et la j-ème colonne.
Exemple :
M = \begin{pmatrix} 3&1&4\\
1&5&9\\
2&6&5\\\end{pmatrix}
\\
M_{\hat{1},\hat{1}} =\begin{pmatrix}
5&9\\
6&5\\\end{pmatrix}, M_{\hat{2},\hat{3}} =\begin{pmatrix}
3&1\\
2&6\\
\end{pmatrix}Il y a une matrice extraite M_{\hat{i},\hat{j}} pour chaque couple (i,j) qui décrit un coefficient de M.
Lemme : S_{n-1} se cache dans S_n.
Nous avons intuitivement un morphisme de groupe injectif de S_{n-1} \to S_n, donné par l’élargissement du domaine de définition d’une permutation \sigma \in S_{n-1}, en posant simplement \sigma(n)= n .
Si on identifie S_{n-1} à son image, alors il s’agit d’un sous-groupe de S_n. Pour nos démonstrations suivantes, nous avons besoin de regarder quelques sous-ensembles de S_n. On notera:
E_{i,k} := \{\sigma \in S_n | \ \sigma(i) = k\}.En fixant un des deux indices et laissant l’autre varier, on obtient des partitions.
S_n = \bigcup_{i=1}^n E_{i,k} = \bigcup_{k=1}^nE_{i,k}.Nous nous intéressons à quelques bijections de S_n particulières :
\begin{align*}
\varphi_{i,k}: S_n &\to S_n \\
\sigma & \mapsto (k,k+1,\dots,n) \sigma (n,\dots,i+1,i) \\
& \varphi_{i,k} \text{ se restreint en une bijection }\\
\varphi_{i,k}: E_{n,n} & \to E_{i,k} \\
\end{align*}Elle a l’avantage majeur d’établir la correspondance entre nouvelles coordonnées dans M_{\hat{i},\hat{k}}, et coordonnées dans M.
[M_{\hat{i},\hat{k}}]_{l,\tau(l)} = m_{l,\phi_{i,k}(\tau)(l)} \text{ et ce qu'importe } \tau \in S_{n-1} = E_{n,n} \text{ et } l < n .Formule de développement sur une ligne
Soit M \in M_n(A), M = (m_{i,j})_{i,j \in \llbracket1,n \rrbracket}, alors
\det(M) = \sum_{k =1}^n m_{i,k}(-1)^{i+k}\det(M_{\hat{i}, \hat{k}}).Démonstration
\begin{align*}
\det(M) & = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma)\prod_{l=1}^n m_{l,\sigma(l)} \\
& = \sum_{k=1}^n\sum_{\sigma \in E_{i,k}} \varepsilon(\sigma)\prod_{l=1}^n m_{l,\sigma(l)} \\
& = \sum_{k=1}^nm_{i,k}\sum_{\sigma \in E_{i,k}} \varepsilon(\sigma)\prod_{l=1, l \ne i}^n m_{l,\sigma(l)} \\
& = \sum_{k=1}^nm_{i,k}\sum_{\tau \in E_{n,n}} \varepsilon(\varphi_{i,k}(\tau))\prod_{l=1, l \ne i}^n m_{l,\varphi_{i,k}(\tau)(l)} \\
& = \sum_{k=1}^nm_{i,k}\sum_{\tau \in E_{n,n}} \varepsilon((n,\dots,k)\tau(i,\dots,n))\prod_{l=1, l \ne i}^n m_{l,\varphi_{i,k}(\tau)(l)} \\
& = \sum_{k=1}^nm_{i,k}\sum_{\tau \in E_{n,n}} \varepsilon((n,\dots,k))\varepsilon(\tau)\varepsilon((i,\dots,n))\prod_{l=1, l \ne i}^n m_{l,\varphi_{i,k}(\tau)(l)} \\
& = \sum_{k =1}^n m_{i,k}(-1)^{i+k}\sum_{\tau \in S_{n-1}}\varepsilon(\tau)\prod_{l=1}^{n-1}[M_{\hat{i},\hat{k}}]_{l,\tau(l)}\\
& = \sum_{k =1}^n m_{i,k}(-1)^{i+k}\det(M_{\hat{i}, \hat{k}}).\\
\end{align*}Exercice
- À l’aide de la transposée d’une matrice, démontrer la formule de développement sur une colonne.
- Montrer que E_{a,b}E_{b,c} = E_{a,c} .
- L’ensemble ((E_{a,b})_{1 \leq a,b \leq n}, \times) est-il un groupe ?
- Lire l’article comatrice et formule.
