La règle de l’Hôpital : cours et exercices corrigés

La règle de l’Hôpital est un outil puissant pour lever les formes indéterminées du type \frac{0}{0} ou \frac{\pm\infty}{\pm\infty} lors du calcul de limites. Attribuée au marquis de l’Hôpital (qui l’a publiée en 1696), elle a en réalité été découverte par le mathématicien suisse Johann Bernoulli. Son principe est élégant : on remplace le quotient de deux fonctions par le quotient de leurs dérivées, et on regarde si cette nouvelle limite existe.

Dans cet article, tu trouveras l’énoncé précis de la règle (cas \frac{0}{0} et cas \frac{\infty}{\infty}), sa démonstration dans le cas classique, des exemples d’application détaillés et des exercices corrigés pour t’entraîner.

Enoncé de la règle de l’Hôpital

Cas 0/0

Soient f et g deux fonctions dérivables au voisinage d’un point a (réel ou \pm\infty) telles que :

 \lim_{x \to a} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = 0

Si g'(x) \neq 0 au voisinage de a (sauf éventuellement en a) et si la limite \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe (finie ou infinie), alors :

 \boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}

Autrement dit, quand le quotient \frac{f(x)}{g(x)} donne une forme indéterminée \frac{0}{0}, on peut le remplacer par le quotient des dérivées \frac{f'(x)}{g'(x)} pour calculer la limite.

Cas ∞/∞

La règle s’applique aussi lorsque les deux fonctions tendent vers l’infini. Si :

 \lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty

alors, sous les mêmes hypothèses sur g', on a également :

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

à condition que la limite du membre de droite existe.

Remarques importantes

La règle de l’Hôpital ne s’applique que dans les cas \frac{0}{0} et \frac{\pm\infty}{\pm\infty}. Si le quotient n’est pas une forme indéterminée (par exemple \frac{1}{0} ou \frac{3}{2}), il ne faut surtout pas l’utiliser. De plus, si la limite \frac{f'(x)}{g'(x)} n’existe pas, cela ne signifie pas que la limite \frac{f(x)}{g(x)} n’existe pas non plus : la règle ne permet simplement pas de conclure dans ce cas.

En pratique, pour les étudiants de prépa, les développements limités et les équivalents sont souvent plus efficaces que la règle de l’Hôpital. Mais cette règle reste très utile au lycée et en début de supérieur, quand on ne dispose pas encore de ces outils.

Exemples d’application

Exemple 1 : limite de sin(x)/x en 0

Calculons \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}.

On pose f(x) = \sin(x) et g(x) = x. On a f(0) = 0 et g(0) = 0, c’est bien une forme indéterminée \frac{0}{0}.

De plus, g'(x) = 1 \neq 0, donc on peut appliquer la règle de l’Hôpital :

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin(x))'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1

Exemple 2 : limite de ln(x)/(x-1) en 1

Calculons \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1}.

On pose f(x) = \ln(x) et g(x) = x - 1. On a f(1) = \ln(1) = 0 et g(1) = 0, c’est une forme \frac{0}{0}.

De plus, g'(x) = 1 \neq 0. On applique la règle :

\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{1} = 1

Exemple 3 : limite de (e^x – 1)/x en 0

Calculons \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.

On a f(x) = e^x - 1 et g(x) = x, avec f(0) = 0 et g(0) = 0. La règle donne :

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1

Exemple 4 : limite de ln(x)/x en +∞ (cas ∞/∞)

Calculons \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}.

Quand x \to +\infty, on a \ln(x) \to +\infty et x \to +\infty, c’est une forme \frac{\infty}{\infty}. On applique la règle :

 \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0

On retrouve un résultat classique de croissance comparée : le logarithme croît beaucoup moins vite que la fonction linéaire.

Démonstration (cas 0/0)

Démontrons la règle dans le cas classique où a est un réel fini, f(a) = g(a) = 0, et f et g sont dérivables en a avec g'(a) \neq 0.

Puisque f(a) = 0 et g(a) = 0, on peut écrire pour tout x \neq a :

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}

On fait apparaître les taux d’accroissement en divisant numérateur et dénominateur par (x - a) :

 \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\displaystyle\frac{g(x) - g(a)}{x - a}}

Quand x \to a, le numérateur tend vers f'(a) et le dénominateur tend vers g'(a) (par définition de la [dérivée](https://progresser-en-maths.com/derivation/)). Comme g'(a) \neq 0, on obtient :

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

La dernière égalité vient de la continuité de f' et g' en a (puisqu’on suppose ici les fonctions dérivables en a).

Cette démonstration repose sur la définition de la dérivée comme limite du taux d’accroissement. La démonstration du cas général (sans hypothèse de dérivabilité en a, ou quand a = \pm\infty) utilise le théorème de Cauchy (version généralisée du théorème des accroissements finis) et est plus technique.

Exercices corrigés

Exercice 1

Calculer \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}.

Correction :

On a \tan(0) = 0 et 0 = 0, c’est une forme \frac{0}{0}. On dérive numérateur et dénominateur :

 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{1} = \frac{1}{\cos^2(0)} = \frac{1}{1} = 1

Exercice 2

Calculer \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}.

Correction :

Quand x \to 0, le numérateur e^0 - 1 - 0 = 0 et le dénominateur 0^2 = 0. Forme \frac{0}{0}. On applique la règle :

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}

Le nouveau quotient donne encore \frac{0}{0}, on applique la règle une seconde fois :

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}

On peut donc appliquer la règle plusieurs fois de suite si nécessaire, tant que la forme indéterminée persiste.

Exercice 3

Calculer \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x).

**Correction :**

La limite est de la forme 0 \times (-\infty), ce qui n’est pas directement un cas d’application. On réécrit sous forme de quotient :

 x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} x \ln(x) = \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}

Quand x \to 0^+, on a \ln(x) \to -\infty et \frac{1}{x} \to +\infty, c’est une forme \frac{-\infty}{+\infty}. On applique la règle :

 \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-x} \cdot \frac{1}{1} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Donc \displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0. C’est un résultat classique de croissance comparée.

Exercice 4

Calculer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}.

Correction :

C’est une forme \frac{+\infty}{+\infty}. On applique la règle :

 \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}

C’est encore \frac{+\infty}{+\infty}, on réapplique :

 \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0

Donc \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0. L’exponentielle croît plus vite que n’importe quel polynôme, c’est encore un résultat de croissance comparée.

Exercices d’entraînement

1. Calculer \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(2x)}.
2. Calculer \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}.
3. Calculer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x}.

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