Les combinaisons font partie des éléments de base en dénombrement et des probabilités. Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est une combinaison et vous montrer des exercices corrigés pour bien comprendre cette notion.
Prérequis
Définition d’une combinaison
Soit n un entier naturel. Soit E un ensemble fini de cardinal n. Les k-combinaisons de E sont ses sous-ensembles. On en dénombre \binom{n}{k} , d’où la nécessité de bien maitriser le cours sur les coefficients binomiaux.
Pour rappel \binom{n}{k} se lit “k parmi n”.
Lien avec les arrangements
La relation suivante relie combinaison et arrangement :
\binom{n}{k} = \dfrac{A_n^k}{k!} Dans un arrangement, l’ordre est pris en compte, tandis que dans une combinaison, l’ordre n’est pas pris en compte.
Propriétés utiles sur les combinaisons
Voici quelques propriétés utiles sur les coefficients binomiaux qui pourront être utilisées :
- \binom{n}{k}= \binom{n}{n-k}
- \binom{n}{k} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}= \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}
- \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}= \binom{n+1}{k+1} (Formule de Pascal)
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Combien de mains avec exactement un roi a-t-on dans un jeu de 52 cartes ?
Corrigé : On doit choisir un roi parmi les 4 puis 3 cartes parmi les 48 qui ne sont pas des rois. On obtient donc :
\binom{4}{1} \times \binom{48}{3} = 4 \times \dfrac{52\times 51\times50}{6}= 88400Exercice 2
Enoncé : On tire 3 boules dans une urne contenant 12 boules de couleurs différentes. Déterminer le nombre de tirages possibles lorsqu’on tire les boules simultanément.
Corrigé : Pour cet exercice, il s’agit d’une combinaison car l’ordre des boules obtenues n’a pas d’importance et il n’y a pas de répétition. On a donc \binom{12}{3}=220 possibilités.
Exercice 3
Enoncé : Un tournoi sportif compte 16 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une et une seule fois. Combien doit-on organiser de matchs ?
Corrigé : Cela revient à prendre 2 équipes parmi 16. L’ordre des équipes n’a pas d’importance et il n’y a pas de répétition. Le résultat est donc \binom{16}{2} = 120
Exercice 4
Enoncé : De combien de façons peut-on choisir 5 femmes et 3 hommes parmi 15 femmes et 5 hommes ?
Corrigé : On n’a pas de répétition et l’ordre n’a pas d’importance, donc on va utiliser des combinaisons qu’on va multiplier entre elles. Le résultat est : \binom{15}{5} \times \binom{5}{3} = 30030
