En dénombrement, les combinaisons servent à compter le nombre de façons de choisir des éléments dans un ensemble lorsque l’ordre n’a pas d’importance. C’est une notion essentielle en probabilités, en analyse combinatoire et dans de nombreux problèmes de concours. Dans cet article, tu vas découvrir la définition d’une combinaison, les propriétés à connaître (symétrie, formule de Pascal), la différence avec les arrangements, ainsi que des exercices corrigés.
Prérequis
Définition d’une combinaison
Soit n un entier naturel et E un ensemble fini de cardinal n. Une combinaison de k éléments parmi n (ou k-combinaison de E) est un sous-ensemble de E contenant exactement k éléments.
Le nombre de telles combinaisons est donné par le coefficient binomial :
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}Ce nombre se lit « k parmi n ».
Par exemple, si E = \{a, b, c, d\}, les 2-combinaisons de E sont : \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\}. Il y en a \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6.
Le point clé : dans une combinaison, l’ordre ne compte pas. Le sous-ensemble \{a, b\} est le même que \{b, a\}.
Différence entre combinaison et arrangement
Cette distinction est fondamentale en dénombrement et source de nombreuses erreurs.
Un arrangement de k éléments parmi n est une liste ordonnée de k éléments distincts. Le nombre d’arrangements est :
A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}Une combinaison de k éléments parmi n est un sous-ensemble (non ordonné) de k éléments. Le nombre de combinaisons est :
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}La relation \binom{n}{k} = \frac{A_n^k}{k!} s’explique facilement : pour chaque sous-ensemble de k éléments (une combinaison), il existe k! façons de les ordonner. Donc l’arrangement compte k! fois trop si l’on ne veut pas tenir compte de l’ordre.
En pratique, la question à se poser est : « L’ordre des éléments choisis a-t-il de l’importance ? » Si oui, c’est un arrangement. Si non, c’est une combinaison. Par exemple, choisir un président, un trésorier et un secrétaire parmi 10 personnes est un arrangement (les rôles sont distincts). Choisir 3 délégués parmi 10 est une combinaison (les 3 ont le même rôle).
Propriétés
Symétrie
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}Choisir k éléments parmi n revient à choisir les n-k éléments qu’on ne prend pas. Par exemple, \binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120, ce qui est bien plus rapide à calculer.
Formule de Pascal
\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}Cette formule est à la base du triangle de Pascal, qui permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche. Elle s’interprète ainsi : pour former un sous-ensemble de k+1 éléments parmi n+1, soit on inclut le (n+1)-ième élément (et on choisit les k restants parmi n), soit on ne l’inclut pas (et on choisit les k+1 éléments parmi n).
Somme de tous les coefficients binomiaux
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^nCela signifie que le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments est 2^n. On retrouve ce résultat en posant x = y = 1 dans le binôme de Newton.
Formule avec les factorielles
On peut calculer \binom{n}{k} de deux façons équivalentes :
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}La seconde écriture est souvent plus pratique pour les calculs à la main : on multiplie k facteurs consécutifs en partant de n et en descendant, puis on divise par k!. Par exemple, \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56.
Exercices corrigés
Exercice 1
Enoncé : Combien de mains avec exactement un roi peut-on former dans un jeu de 52 cartes, si une main contient 4 cartes ?
Corrigé : On procède en deux étapes. D’abord, on choisit 1 roi parmi les 4 : \binom{4}{1} = 4 possibilités. Ensuite, on choisit 3 cartes parmi les 48 restantes (qui ne sont pas des rois) : \binom{48}{3}.
On calcule \binom{48}{3} = \frac{48 \times 47 \times 46}{3!} = \frac{48 \times 47 \times 46}{6} = 17\,296.
Le nombre total de mains est donc :
\binom{4}{1} \times \binom{48}{3} = 4 \times 17\,296 = 69\,184Exercice 2
Enoncé : On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 12 boules de couleurs différentes. Combien de tirages sont possibles ?
Corrigé : Le tirage est simultané, donc l’ordre n’a pas d’importance et il n’y a pas de répétition. C’est une combinaison de 3 éléments parmi 12 :
\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{1\,320}{6} = 220Exercice 3
Enoncé : Un tournoi sportif compte 16 équipes engagées. Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une et une seule fois. Combien de matchs doit-on organiser ?
Corrigé : Un match est déterminé par le choix de 2 équipes parmi 16. L’ordre n’a pas d’importance (le match A contre B est le même que B contre A). C’est une combinaison :
\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120Il faut organiser 120 matchs.
Exercice 4
Enoncé : De combien de façons peut-on former un comité de 5 femmes et 3 hommes à partir d’un groupe de 15 femmes et 5 hommes ?
Corrigé : Les deux choix sont indépendants : on choisit 5 femmes parmi 15 et 3 hommes parmi 5. On utilise le principe multiplicatif :
\binom{15}{5} \times \binom{5}{3} = 3\,003 \times 10 = 30\,030Détail du calcul : \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5!} = \frac{360\,360}{120} = 3\,003 et \binom{5}{3} = \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 (par symétrie).
Exercice 5
Enoncé : Une classe de 30 élèves doit choisir 4 délégués. Parmi ces 30 élèves, 2 sont jumeaux et refusent d’être séparés : soit les deux sont délégués, soit aucun des deux ne l’est. Combien de choix sont possibles ?
Corrigé : On distingue deux cas.
Cas 1 : les jumeaux sont tous les deux délégués. Il reste à choisir 2 délégués parmi les 28 autres élèves : \binom{28}{2} = \frac{28 \times 27}{2} = 378.
Cas 2 : aucun des jumeaux n’est délégué. On choisit 4 délégués parmi les 28 autres : \binom{28}{4} = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25}{4!} = \frac{491\,400}{24} = 20\,475.
Au total, il y a 378 + 20\,475 = 20\,853 choix possibles.
Exercices d’entraînement
- Un sac contient 10 billes numérotées de 1 à 10. On en tire 4 simultanément. Combien de tirages contiennent la bille numéro 1 ?
- Combien de diagonales possède un polygone convexe à 12 côtés ?
- On dispose de 8 livres différents. De combien de façons peut-on en placer exactement 3 sur une étagère si l’ordre sur l’étagère n’a pas d’importance ?
FAQ
Dans une combinaison, l’ordre des éléments choisis n’a pas d’importance : on sélectionne un sous-ensemble. Dans un arrangement, l’ordre compte : on forme une liste ordonnée. Par exemple, choisir 3 délégués parmi 10 personnes est une combinaison, tandis que désigner un président, un trésorier et un secrétaire parmi 10 personnes est un arrangement.
On utilise la formule du coefficient binomial : n! / (k! × (n−k)!). En pratique, on peut aussi multiplier k facteurs consécutifs en partant de n (soit n × (n−1) × … × (n−k+1)) puis diviser par k!.
C’est la propriété de symétrie. Choisir k éléments parmi n revient exactement à choisir les n−k éléments qu’on ne prend pas. Par exemple, choisir 7 personnes parmi 10 pour une équipe revient à choisir les 3 personnes qui restent sur le banc.
Cette somme vaut 2^n. Cela signifie qu’un ensemble à n éléments possède exactement 2^n sous-ensembles (en comptant l’ensemble vide et l’ensemble lui-même). On retrouve ce résultat grâce au binôme de Newton en posant x = y = 1.
