Exercice corrigé : Inégalité de Bernoulli

L’inégalité de Bernoulli est un grand classique lorsqu’on découvre le concept de récurrence. Dans cet article nous allons démontrer cette inégalité.

Prérequis

• La récurrence

Enoncé

Démontrer l’inégalité de Bernoulli :

\forall n \in \N, \forall x > -1 ,  (1+x)^n  \ge 1+nx

Corrigé

Cette inégalité se démontre par récurrence :

Etape 1 : Initialisation
On prend n = 0, on montre facilement que

\begin{array}{l}\forall x > -1, \left(1+x\right)^0 = 1\\
\forall x> -1,\ 1+0 \times x=1\\
\end{array}

Et on a bien 1 \geq 1. L’initialisation est donc vérifiée

Etape 2 : Hérédité
On suppose que la propriété est vrai pour un rang n fixé. Ce qui fait que pour ce n, on a cette hypothèse de récurrence : \forall x \in \R_+, (1+x)^n \geq 1+nx .

On veut montrer la propriété au rang n+1, c’est à dire que \forall x > -1, (1+x)^{n+1}\geq 1+\left(n+1\right)x

Une fois de plus, on va partir de l’hypothèse de récurrence pour arriver à ce résultat voulu :

\begin{array}{l}\forall x\in \mathbb{R}_+,\ (1+x)^n\ge 1+nx\\
\forall x\in \mathbb{R}_+,\ (1+x)^n\left(1+x\right)\ge \left(1+nx\right)\left(1+x\right)\ \\
\end{array}

On a multiplié par (1+x) \geq 0 de chaque côté. Puis, \forall x > -1, (1+x)^{n+1}\geq \left(1+nx\right)\left(1+x\right).

On a utilisé \left(1+x\right)^n\left(1+x\right) = \left(1+x\right)^{n+1}

Puis on développe le membre de droite } \forall x > -1 ,\ (1+x)^{n+1}\geq 1 + nx +x +nx^2

Puis on continue sur le membre de droite avec 1+nx+x+nx^2 \geq 1+nx+x = 1+\left(n+1 \right)x . Ainsi, \left(1+x\right)^{n+1}\geq 1 + \left( n+1 \right)x

L’hérédité est donc bien vérifiée.
Conclusion : l’inégalité de Bernoulli est vérifiée

\forall n \in \N, \forall x > -1,  (1+x)^n  \ge 1+nx