Exercice corrigé : Inégalité de Bernoulli

Découvrez l’inégalité de Bernoulli, un grand classique lorsqu’on fait ses premières récurrences
Inégalité de Bernoulli

L’inégalité de Bernoulli est un grand classique lorsqu’on découvre le concept de récurrence. Dans cet article nous allons démontrer cette inégalité.

Table des matières

Prérequis

Enoncé

Démontrer l’inégalité de Bernoulli :

\forall n \in \N, \forall x > -1 ,  (1+x)^n  \ge 1+nx

Corrigé

Cette inégalité se démontre par récurrence :

Etape 1 : Initialisation
On prend n = 0, on montre facilement que

\begin{array}{l}\forall x > -1, \left(1+x\right)^0 = 1\\
\forall x> -1,\ 1+0 \times x=1\\
\end{array}

Et on a bien 1 \geq 1. L’initialisation est donc vérifiée

Etape 2 : Hérédité
On suppose que la propriété est vrai pour un rang n fixé. Ce qui fait que pour ce n, on a cette hypothèse de récurrence : \forall x \in \R_+, (1+x)^n \geq 1+nx .

On veut montrer la propriété au rang n+1, c’est à dire que \forall x > -1, (1+x)^{n+1}\geq 1+\left(n+1\right)x

Une fois de plus, on va partir de l’hypothèse de récurrence pour arriver à ce résultat voulu :

\begin{array}{l}\forall x\in \mathbb{R}_+,\ (1+x)^n\ge 1+nx\\
\forall x\in \mathbb{R}_+,\ (1+x)^n\left(1+x\right)\ge \left(1+nx\right)\left(1+x\right)\ \\
\end{array}

On a multiplié par (1+x) \geq 0 de chaque côté. Puis, \forall x > -1, (1+x)^{n+1}\geq \left(1+nx\right)\left(1+x\right).

On a utilisé \left(1+x\right)^n\left(1+x\right) = \left(1+x\right)^{n+1}

Puis on développe le membre de droite } \forall x > -1 ,\ (1+x)^{n+1}\geq 1 + nx +x +nx^2

Puis on continue sur le membre de droite avec 1+nx+x+nx^2 \geq 1+nx+x = 1+\left(n+1 \right)x . Ainsi, \left(1+x\right)^{n+1}\geq 1 + \left( n+1 \right)x

L’hérédité est donc bien vérifiée.
Conclusion : l’inégalité de Bernoulli est vérifiée

\forall n \in \N, \forall x > -1,  (1+x)^n  \ge 1+nx
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