Voici l’énoncé d’un exercice qui a pour but de démontrer la règle de Raabe-Duhamel, qui est un critère permettant d’évaluer la convergence de séries. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des séries. C’est un exercice de fin de première année dans le supérieur.
Et voici l’énoncé :
Enoncé
Corrigé
Cas α > 1
Plaçons-nous dans le cas
\alpha > 1
On va poser
\beta = \dfrac{1+\alpha}{2}> 1On pose la suite (vn)n définie par :
v_n =u_nn^{\beta} Considérons alors
\begin{array}{lll}
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}&= & \dfrac{u_{n+1}(n+1)^{\beta}}{u_nn^{\beta}} \\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \left(1-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{\beta}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\\
&= & \left(1+\dfrac{\beta-\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \\
&= & \left(1+\dfrac{1-\alpha}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)
\end{array}Et donc, à partir d’un certain rang noté n0 :
\dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1On a donc :
\forall n > n_0, v_n \leq v_{n_0}Et donc en remplaçant :
u_nn^{\beta} < u_{n_0}n_0^{\beta} \iff u_n < \dfrac{u_{n_0}n_0^{\beta}}{n^\beta} = \dfrac{C}{n ^{\beta}}On obtient alors, par comparaison de séries à termes positifs, en comparant avec une série de Riemann, que la série est convergente.
Cas α < 1
Plaçons-nous dans le cas très symétrique (vous allez voir, ce sont les mêmes calculs)
\alpha < 1
On va poser
\beta = \dfrac{1+\alpha}{2} < 1On pose la suite (vn)n définie par :
v_n =u_nn^{\beta} Considérons alors
\begin{array}{lll}
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}&= & \dfrac{u_{n+1}(n+1)^{\beta}}{u_nn^{\beta}} \\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \left(1-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{\beta}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\\
&= & \left(1+\dfrac{\beta-\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \\
&= & \left(1+\dfrac{1-\alpha}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)
\end{array}Et donc, à partir d’un certain rang noté n0 :
\dfrac{v_{n+1}}{v_n} > 1On a donc :
\forall n > n_0, v_n \geq v_{n_0}Et donc en remplaçant :
u_nn^{\beta} > u_{n_0}n_0^{\beta} \iff u_n > \dfrac{u_{n_0}n_0^{\beta}}{n^\beta} = \dfrac{C}{n ^{\beta}}On obtient alors, par comparaison de séries à termes positifs, en comparant avec une série de Riemann, que la série est divergente.
On a bien démontré la règle de Raabe-Duhamel.
Le corrigé en vidéo
Et pour ceux qui préfèrent, voici la correction en vidéo :
Cet exercice vous a plu ?
