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Exercice corrigé : Règle de Raabe-Duhamel

Voici l’énoncé d’un exercice qui a pour but de démontrer la règle de Raabe-Duhamel, qui est un critère permettant d’évaluer la convergence de séries. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des séries. C’est un exercice de fin de première année dans le supérieur.

Et voici l’énoncé :

Enoncé

Règle de Raabe-duhamel

Corrigé

Cas α > 1

Plaçons-nous dans le cas

\alpha > 1

On va poser

\beta = \dfrac{1+\alpha}{2}> 1

On pose la suite (vn)n définie par :

v_n =u_nn^{\beta} 

Considérons alors

\begin{array}{lll}
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}&= & \dfrac{u_{n+1}(n+1)^{\beta}}{u_nn^{\beta}} \\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \left(1-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{\beta}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\\
&= & \left(1+\dfrac{\beta-\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \\
&= & \left(1+\dfrac{1-\alpha}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) 
\end{array}

Et donc, à partir d’un certain rang noté n0 :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} < 1

On a donc :

\forall n > n_0, v_n \leq  v_{n_0}

Et donc en remplaçant :

u_nn^{\beta} < u_{n_0}n_0^{\beta}  \iff u_n < \dfrac{u_{n_0}n_0^{\beta}}{n^\beta} = \dfrac{C}{n ^{\beta}}

On obtient alors, par comparaison de séries à termes positifs, en comparant avec une série de Riemann, que la série est convergente.

Cas α < 1

Plaçons-nous dans le cas très symétrique (vous allez voir, ce sont les mêmes calculs)

\alpha < 1

On va poser

\beta = \dfrac{1+\alpha}{2} < 1

On pose la suite (vn)n définie par :

v_n =u_nn^{\beta} 

Considérons alors

\begin{array}{lll}
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}&= & \dfrac{u_{n+1}(n+1)^{\beta}}{u_nn^{\beta}} \\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{\beta}\\
&= & \left(1-\dfrac{\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{\beta}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\\
&= & \left(1+\dfrac{\beta-\alpha}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \\
&= & \left(1+\dfrac{1-\alpha}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) 
\end{array}

Et donc, à partir d’un certain rang noté n0 :

\dfrac{v_{n+1}}{v_n} > 1

On a donc :

\forall n > n_0, v_n \geq  v_{n_0}

Et donc en remplaçant :

u_nn^{\beta} > u_{n_0}n_0^{\beta}  \iff u_n > \dfrac{u_{n_0}n_0^{\beta}}{n^\beta} = \dfrac{C}{n ^{\beta}}

On obtient alors, par comparaison de séries à termes positifs, en comparant avec une série de Riemann, que la série est divergente.

On a bien démontré la règle de Raabe-Duhamel.

Cet exercice vous a plu ?

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