Relation de Chasles (vecteurs) : Cours et exercices corrigés

La relation de Chasles est une relation importante lorsqu’on travaille avec les vecteurs. Dans cet article, nous allons vous donner cette formule et quelques applications pour bien comprendre cette notion.

La relation de Chasles

Soit A, B et C trois points. On peut travailler dans le plan ou dans l’espace, la relation est la même. La relation de Chasles nous donne :

\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

Voici quelques exercices corrigés pour comprendre la notion

Exercice corrigé

Exercice 1

Enoncé

Simplifier les expressions suivantes :

1. \overrightarrow{BE} -\overrightarrow{BC}
2. \overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}
3. \overrightarrow{AC} +2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}

Corrigé

Question 1 : On met tout en positif pour y avoir plus clair. Ce qui fait qu’on obtient :

\overrightarrow{BE} -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CE}

Question 2 : Là aussi, on met tout en positif :

\begin{array}{ll}
\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}&=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\\
&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\\
&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\\
&=\overrightarrow{0}
\end{array} 

Question 3 : Ici, on peut couper intelligemment le terme en double :

\overrightarrow{AC} +2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{CB}

Ou alors, autre démonstration, en permutant l’ordre des termes au début :

\overrightarrow{AC} +2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} +2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CB}

Exercice 2 : Le bac du 20 mars 2023 en France (épreuve 1)

La question 1 de l’exercice de géométrie (exercice 4) fait appel à l’utilisation de vecteurs en utilisant plusieurs fois la relation de Chasles, allez le voir !