Exercice corrigé : Règle de Gauss

Voici un exercice corrigé détaillé démontrant la règle de Gauss
Gauss

Voici l’énoncé d’un exercice qui a pour but de démontrer la règle de Gauss, qui est un critère fin permettant de trouver l’équivalent d’une série. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des séries. C’est un exercice de fin de première année dans le supérieur.

Cette règle est un raffinement de la règle de Raabe-Duhamel

Et voici l’énoncé :

Enoncé

Règle de Gauss

Corrigé

On a

\begin{array}{ll}
\ln(a_{n+1}) -\ln(a_n) &= \ln\left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right)\\
&= \ln \left( 1 - \dfrac{\alpha}{n} + O \left( \dfrac{1}{n^k} \right) \right)\\
&=- \dfrac{\alpha}{n} + r_n  

\end{array}

Avec \displaystyle \sum r_n convergente. On sait que, d’après ce qu’on connait sur la suite harmonique.

\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)

On a alors :

\begin{array}{lll}
\ln(a_{n} ) - \ln(a_1) &=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \ln(a_{k+1}) -\ln(a_k)\\
& \displaystyle =-\alpha \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{n} + \sum_{k=1}^n r_k\\
&= \displaystyle  - \alpha \ln(n) - \alpha \gamma + \sum_{k=1}^n r_k + o(1)
\end{array}

Considérons alors

c = - \alpha \gamma + \sum_{n=1}^{ +\infty}r_n

On a donc :

\ln(a_{n} ) - \ln(a_1) =  - \alpha \ln(n)+c+ o(1)

Et donc en réécrivant :

\ln \left( \dfrac{a_{n}}{a_1} \right) = \ln \left(\dfrac{C}{n^{\alpha}} \right) + o(1) 

Avec C = e^c .

D’où finalement,

\ln \left( \dfrac{a_{n}}{a_1} \right) \sim \ln \left(\dfrac{C}{n^{\alpha}} \right)

Puis en prenant l’exponentielle :

 \dfrac{a_{n}}{a_1}\sim\dfrac{C}{n^{\alpha}} \iff a_{n} \sim \dfrac{C'}{n^{\alpha}}

Avec C' = Ca_1

On a bien démontré la règle de Gauss

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