Voici l’énoncé d’un exercice qui a pour but de démontrer la règle de Gauss, qui est un critère fin permettant de trouver l’équivalent d’une série. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des séries. C’est un exercice de fin de première année dans le supérieur.
Cette règle est un raffinement de la règle de Raabe-Duhamel
Et voici l’énoncé :
Enoncé
Corrigé
On a
\begin{array}{ll}
\ln(a_{n+1}) -\ln(a_n) &= \ln\left( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right)\\
&= \ln \left( 1 - \dfrac{\alpha}{n} + O \left( \dfrac{1}{n^k} \right) \right)\\
&=- \dfrac{\alpha}{n} + r_n
\end{array}Avec \displaystyle \sum r_n convergente. On sait que, d’après ce qu’on connait sur la suite harmonique.
\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)On a alors :
\begin{array}{lll}
\ln(a_{n} ) - \ln(a_1) &=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \ln(a_{k+1}) -\ln(a_k)\\
& \displaystyle =-\alpha \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{n} + \sum_{k=1}^n r_k\\
&= \displaystyle - \alpha \ln(n) - \alpha \gamma + \sum_{k=1}^n r_k + o(1)
\end{array}Considérons alors
c = - \alpha \gamma + \sum_{n=1}^{ +\infty}r_nOn a donc :
\ln(a_{n} ) - \ln(a_1) = - \alpha \ln(n)+c+ o(1)Et donc en réécrivant :
\ln \left( \dfrac{a_{n}}{a_1} \right) = \ln \left(\dfrac{C}{n^{\alpha}} \right) + o(1) Avec C = e^c .
D’où finalement,
\ln \left( \dfrac{a_{n}}{a_1} \right) \sim \ln \left(\dfrac{C}{n^{\alpha}} \right)Puis en prenant l’exponentielle :
\dfrac{a_{n}}{a_1}\sim\dfrac{C}{n^{\alpha}} \iff a_{n} \sim \dfrac{C'}{n^{\alpha}}Avec C' = Ca_1
On a bien démontré la règle de Gauss
