Exercice corrigé : Q est dense dans R

Voici plusieurs démonstrations

Cet exercice est faisable en MPSI. En voici son énoncé :

Première démonstration : Avec des parties entières

Nous allons utiliser des parties entières pour cette démonstration. Soit x un réel quelconque. Soit n un entier. On a :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 2^nx \rfloor  \leq  2^n x  \leq \lfloor 2^n x \rfloor +1\\
\iff & \dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor}{2^n}  \leq   x  \leq \dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor+1}{2^n}\\
\end{array}

On a :

\dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor}{2^n}  \in \mathbb{Q}

Et

\dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor+1}{2^n}

Avec

\lim_{n\to + \infty} \dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor+1}{2^n} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\lfloor 2^nx \rfloor}{2^n} = x

Donc, on a trouvé une (et même 2!) suites de rationnels dont la limite est un réel. Ce qui fait que, par caractérisation séquentielle, on a bien montré la densité de Q dans IR !

A noter : On peut remplacer 2 par 10 !

Avec le caractère archimédien

On va là aussi utiliser la caractérisation séquentielle de la densité. Soit x un réel. Soit

\varepsilon_n = \dfrac{1}{n}

On va utiliser le fait que IR est archimédien. Dans ce cas, on obtient donc que

\exists p \in \mathbb{N}, p_n\varepsilon_n  \leq x \leq (p+1)\varepsilon_n 

Notons que

|p_n - x |\leq \varepsilon_n =\dfrac{1}{n}

Et donc, la suite (u_n) définie par

u_n = p_n\varepsilon_n = \dfrac{p_n}{n}

Est une suite de rationnels qui converge vers x. Ce qui nous montre là aussi la densité de Q dans R.

Par dichotomie

Soit x un réel. On peut trouver 2 rationnels a et b tels que

a \leq x \leq b

On va construire par récurrence deux suites (a_n) et (b_n) avec

a = a_0, b=b_0

Ensuite, pour la relation de récurrence, on dispose de

a_n \leq x \leq b_n

Si

x \leq \dfrac{a_n+b_n}{2}

Alors on pose,

a_ {n+1} = a_n, b_{n+1} = \dfrac{a_n+b_n}{2}

Sinon, on pose :

a_{n+1} =  \dfrac{a_n+b_n}{2},b_{n+1} =b_n

On a bien

a_{n+1}\leq x\leq b_{n+1}

De plus,

b_{n+1}-a_{n+1}=\dfrac{b_n-a_n}{2}

Ce qui fait que

b_n-a_n = \dfrac{b-a}{2^n}

Et donc les suites (a_n) et (b_n) convergent vers x par encadrement. Ce qui nous montre la densité de Q dans R.

Le corrigé en vidéo

Et pour ceux qui préfèrent, voici la correction en vidéo :

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