Exercice corrigé : Inégalité de Cauchy-Schwarz sur les intégrales

Voici la correction d’un exercice sur les intégrales utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Enoncé

Corrigé

Question 1

Prouvons cette question par l’absurde :

Si \exists x \in [a, b], f(x) \geq 0 et y \in [a,b], f(y) \leq 0
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe z \in [a, b ],f(z) = 0
On a donc : f(z)g(z) = 0 Ce qui nous donne une contradiction !
En effet le produit f(z)g(z) \ngeqslant 1 et f(z)g(z) \leq 1
Ainsi f,g ne changent pas de signe sur [a,b]

Question 2

On pose

\left\langle f|g \right\rangle = \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt

D’après Cauchy-Schwarz on a :

\forall (x,y)\in E \times E, \left| \left\langle x|y \right\rangle \right|^{2}\le\left| x \right|^{2} \left| y \right|^{2}

Utilisons l’inégalité enoncée ci-dessus :
On sait que \forall (a,b) \in \mathbb{R} :

(b-a)^{2} = \left(\int_{a}^{b}1 dt\right)^{2}\le \left(\int_{a}^{b}\sqrt{f(t)g(t)} dt)\right)^{2}

(d’après la 1ère question)
puis en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :

\begin{array}{ll}
\left(\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{f(t)g(t)} dt\right)^{2} & \leq\displaystyle  \int_{a}^{b}\sqrt{f(t)}^{2}dt\times \int_{a}^{b}\sqrt{g(t)}^{2}dt \\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt\int_{a}^{b}g(t)dt
\end{array}

Ce qui conclut la question 2.

Corrigé sur Youtube

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