Exercice corrigé : Série de fonctions

Voici un exercice corrigé détaillé sur les séries de fonctions
Série de fonctions arctan

Voici l’énoncé d’un exercice de séries de fonctions. Cet exercice est abordable à partir de la deuxième année dans le supérieur.

En voici l’énoncé :

Enoncé

Série de fonctions arctan

Corrigé

On considère la série suivante :

\sum\arctan(n+x)-\arctan(n)

On note f la somme de cette série.

Posons alors :

f_n:x\in{\mathbb{R}}\mapsto \arctan(n+x)-\arctan(n)

Question 1

On remarque une chose :

\forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}},\ f_n(x)=\arctan(n+x)-\arctan(n)=\int_{n}^{x+n}\frac{dt}{1+t^2}

On va se servir de ce constat pour montrer que la série converge simplement sur tout R. Pour cela, on distingue deux cas :

Dans un premier temps, si x est positif, la décroissance de la fonction dans l’intégrande nous donne :

\ x\geq{0} \Rightarrow \forall{n}\in{\mathbb{N}},\ 0\leq f_n(x)= \int_{n}^{x+n}\frac{dt}{1+t^2}\leq \int_{n}^{x+n}\frac{dt}{1+n^2}=\frac{x+n-n}{1+n^2}=\frac{x}{1+n^2}

Le dernier terme de cette inégalité est le terme général d’une série convergente, car :

\forall{x}\in{\mathbb{R}_+^*},\forall{n}\in{\mathbb{N}}, \frac{x}{1+n^2}\sim_{n\rightarrow{+\infty}}\frac{x}{n^2}

Donc dans le cas où x est positif, le terme général de la série étant positif et majoré par le terme général positif d’une série convergente, on a par comparaison pour les séries à termes positifs que la série converge simplement vers sa somme.

Dans un deuxième temps, si x est strictement négatif :

x<0 \Rightarrow \forall{n}\in{\mathbb{N}},\ n>x+n \Rightarrow \forall{n}\in{\mathbb{N}},\  f_n(x)=-\int_{x+n}^{n}\frac{dt}{1+t^2} \Rightarrow |f_n(x)|=\int_{x+n}^{n}\frac{dt}{1+t^2}

Ainsi, encore une fois par décroissance de l’intégrande :

x<0 \Rightarrow \forall{n}\in{\mathbb{N}},\ 0\leq |f_n(x)|=\int_{x+n}^{n}\frac{dt}{1+t^2}\leq \int_{x+n}^{n}\frac{dt}{1+(x+n)^2}=\frac{-x}{1+(x+n)^2}

Le dernier terme est encore une fois le terme général d’une série convergente (par les même arguments, à peu de choses près).

Par les même arguments que dans le cas positif, on a la convergence simple de la série considérée pour les x négatifs.

On en conclut que la série converge simplement, vers sa somme, sur tout R.

Pour la convergence uniforme, on peut raisonner en prenant le reste d’ordre p de la série que l’on a considéré ( C’est licite car la série converge ) :

\forall{p}\in\mathbb{N}, \forall{x}\in\mathbb{R},\ R_p(x)=\sum_{n=p+1}^{+\infty}f_n(x) = \sum_{n=p+1}^{+\infty} \arctan(n+x)-\arctan(n)

En particulier,

\forall{p}\in\mathbb{N},\ R_p(-p)=\sum_{n=p+1}^{+\infty} \arctan(n-p)-\arctan(n)

D’où,

\forall{p}\in\mathbb{N},\ |R_p(-p)| = -R_p(-p)\geq \arctan(n+1)-\arctan(1) \rightarrow \frac{\pi}{2}-\arctan(1)>0

Ainsi,

\neg(\ ||R_p||_{\infty}\rightarrow0\ )

Ainsi, il n’y a pas convergence uniforme sur R.

On peut aussi en déduire, même si ce n’est pas demandé, qu’il n’y a pas convergence normale sur R.

On peut aussi le montrer assez rapidement:

\forall{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}},\ f_n(x)=\arctan(n+x)-\arctan(n) \rightarrow_{x\rightarrow{+\infty}} \frac{\pi}{2}-\arctan(n)

Donc,

||f_n||_{\infty} \geq \frac{\pi}{2}-\arctan(n)\geq \frac{\pi}{2}

Donc, la série des normes infinies ne converge pas : Pas de convergence normale sur R.

Maintenant, on a convergence normale, et donc uniforme, sur tout segment de R.

n\in\mathbb{N},\ x\in[a,b]\subset\mathbb{R}

La suite de fonctions est dérivable en x :

\forall{x}\in[a,b],\ f_n'(x)=\frac{1}{1+(x+n)^2}>0

La suite de fonctions est donc croissante sur cet intervalle, et donc :

\max_{x\in[a,b]}\{f_n(x)\}=f_n(b)\ ;\ \min_{x\in[a,b]}\{f_n(x)\}=f_n(a)

Maintenant,

||f_n||_{\infty,[a,b]}\leq |f_n(a)|+|f_n(b)|

Donc, la série des normes infinies sur cet intervalle est convergente. On a donc convergence normale et donc uniforme sur tout intervalle de R !

Question 2

Posons :

\forall{x}\in\mathbb{R},\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)

On veut appliquer le théorème de dérivation termes à termes pour les séries de fonctions.

i)\ \forall{n}\in\mathbb{N},\ f_n\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})\\
ii)\ \sum f_n \rightarrow f

Maintenant pour la troisième hypothèse, on doit avoir la convergence uniforme sur tout segment J de la série des dérivées.

f_n':x\mapsto\frac{1}{1+(x+n)^2}

Pour avoir la convergence uniforme, on teste la convergence normale sur tout segment.

||f_n'||_{\infty,J}=\sup_{x\in{J=[a,b]}} \{f_n'(x)\}=\frac{1}{1+(a+n)^2}

Donc :

\sum ||f_n'||_{\infty,J}

est une série convergente.

On donc convergence normale, et donc uniforme, sur tout segment J.

On peut appliquer le théorème de dérivation termes à termes pour les séries de fonctions, qui nous donne directement que :

f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)\in\mathcal{C}^1

Question 3

\forall{x}\in\mathbb{R},\ f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\arctan(x+k)-\arctan(k)

Donc,

\forall{x}\in\mathbb{R},\  f(x+1)-f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty}\arctan(x+1+k)-\arctan(x+k)

Ainsi, par téléscopage :

\forall{x}\in\mathbb{R},\  f(x+1)-f(x) = \lim_{k\rightarrow{+\infty}}\arctan(x+1+k)-\arctan(x) =\frac{\pi}{2}-\arctan(x)

Au final :

\forall{x}\in\mathbb{R},\  f(x+1)-f(x) = \frac{\pi}{2}-\arctan(x)
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