Cette page a pour but de regrouper quelques exercices sur les limites et la continuité Ce chapitre est à aborder en MPSI, PCSI, PTSI ou MPII et de manière générale en première année dans le supérieur
Exercice 198
Voici l’énoncé :
Et démarrons dès maintenant la correction. Fixons d’abord un x réel. Posons la fonction g définie par :
g(x) = f(x) -lx
On a :
\begin{array}{ll}
g(x+1) - g(x) &= f(x+1) -l(x+1)-(f(x)-lx) \\
& = f(x+1)-f(x)-l
\end{array}Si bien que :
\lim_{x \to + \infty}g(x+1) - g(x) = 0Maintenant, considérons h définie par :
h(x) = \dfrac{g(x)}{x}On sait que :
\forall \varepsilon > 0, \exists A \in \mathbb{R}, \forall x> A, |g(x+1)- g(x)| < \varepsilonOn pose aussi :
M = \sup_{x \in ]A,A+1]} g(x)Soit x > A. On peut trouver n tel que :
x-n \in ]A,A+1]
On a donc :
h(x) = \dfrac{g(x)}{x} =\dfrac{1}{x} \sum_{k=0}^{n-1} g(x-k)-g(x-(k+1)) + \dfrac{g(x-n)}{x}Passons maintenant aux majorations :
\begin{array}{ll}
|h(x)|& \leq \left|\displaystyle\dfrac{1}{x} \sum_{k=0}^{n-1} g(x-k)-g(x-(k+1)) +\dfrac{g(x-n)}{x}\right|\\
& \leq \displaystyle\dfrac{1}{x} \sum_{k=0}^{n-1} \left| g(x-k)-g(x-(k+1))\right| +\left|\dfrac{g(x-n)}{x}\right|\\
& \leq \displaystyle\dfrac{1}{x} \sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon+\dfrac{M}{x}\\
& \leq \displaystyle\dfrac{n \varepsilon}{x}+\dfrac{M}{x}
\end{array}On a :
\dfrac{n}{x}\leq 1Et, pour x assez grand
\dfrac{M}{x}\leq \varepsilonEt donc, en combinant tout cela :
|h(x)| \leq 2\varepsilon
Comme ε a été choisi arbitrairement, on obtient :
\lim_{x \to +\infty}h(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{x} =0 Et donc :
0 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) -lx }{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) }{x} -lD’où le résultat recherché :
\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) }{x} = lCe qui est bien le résultat demandé ! La démonstration ressemble beaucoup à celle du lemme de Césaro !
Exercice 591
Pour ce faire, la méthode est assez classique et à connaitre : on factorise de la bonne manière
(x+1)^{\beta}-x^{\beta} = x^{\beta} \left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\beta}-1\right)On utilise ensuite les règles sur les équivalents usuels en 0 :
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\beta}-1 \sim \dfrac{\beta}{x}On obtient alors :
x^{\beta} \left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\beta}-1\right) \sim x^{\beta}\dfrac{\beta}{x}= \beta x^{\beta - 1}Ce qui nous donne bien un équivalent simple. Passons aux limites : Se présentent 3 cas :
β > 1 : Dans ce cas :
\lim_{x \to +\infty}(x+1)^{\beta}-x^{\beta} = +\inftyβ = 1 : Dans ce second cas :
\lim_{x \to +\infty}(x+1)^{\beta}-x^{\beta} = 1β < 1 : Pour ce dernier cas :
\lim_{x \to +\infty}(x+1)^{\beta}-x^{\beta} = 0Exercice 660
Fixons x un réel un positif. Considérons la suite (u) définie par :
u_n = \dfrac{x^n}{n!}On a :
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}} = \dfrac{x}{n+1}Utilisons la partie entière : Si
n \leq \lfloor x \rfloor
Alors, la suite est croissante. Dès qu’on dépasse ce seuil, la suite devient décroissante. On a alors le résultat suivant :
\sup_{n \in \mathbb{N}}\dfrac{x^n}{n!} = \dfrac{x^{ \lfloor x \rfloor}}{ \lfloor x \rfloor !}Maintenant qu’on a éclairci ce point, cette fonction est-elle continue ? Les éventuels points de discontinuité sont les entiers. D’une part, f est clairement continue à droite. De plus, on remarque que :
\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor^{ \lfloor x+1 \rfloor}}{ \lfloor x+1 \rfloor !} = \dfrac{\lfloor x+1 \rfloor^{ \lfloor x \rfloor}\lfloor x+1 \rfloor}{ \lfloor x+1 \rfloor !} = \dfrac{\lfloor x+1 \rfloor^{ \lfloor x \rfloor}}{ \lfloor x \rfloor !}Or,
\lim_{y \to \lfloor x+1 \rfloor }f(x) = \lim_{y \to \lfloor x+1 \rfloor }\dfrac{ y ^{ \lfloor x \rfloor}}{ \lfloor x \rfloor !}=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor^{ \lfloor x \rfloor}}{ \lfloor x \rfloor !}Donc f est continue à gauche.
Conclusion : f est continue !
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