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Ouverts et fermés
Exercices corrigés

Exercices corrigés : Ouverts et fermés en topologie

Cette page a pour but de regrouper quelques exercices sur les ouverts et fermés en topologie. Ce chapitre est à aborder en MP, PC, PT, PSI ou MPI et de manière générale en seconde année dans le supérieur

Exercice 318

Fermeture des espaces de nombres

Montrons d’abord que

 \mathbb{Z} \ est\ fermé\ dans\  \mathbb{R}

Pour cela considérons la fonction :

f :\left\{ \begin{array}{lll}\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\x &\mapsto &\sin(\pi x) \end{array} \right.

f est une fonction continue. On remarque que :

\mathbb{Z} = f^{-1}(\{0\})

Or {0} est un fermé de l’ensemble des réels. Donc cela suffit à conclure.
Autre démonstration :

Z = {}^{C}\left(\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}]n;n+1[\right)

Qui est une union quelconque d’intervalles ouverts qui sont des ouverts. Donc c’est le complémentaire d’un ouvert. Ainsi, c’est un fermé.

Pour l’ensemble des entiers naturels, on va voir le même raisonnement. Cette fois, on considère

g :\left\{ \begin{array}{lll}\mathbb{R}_+ &\rightarrow &\mathbb{R}\\x &\mapsto &\sin(\pi x) \end{array} \right.

g est continue et on a :

\mathbb{N} =g^{-1}(\{0\})

Ce qui nous amène à la conclusion suivante :

\mathbb{N} \ est\ un \ fermé \ de \ \mathbb{R}_+

Or,

\mathbb{R}_+ \ est\ un \ fermé \ de \ \mathbb{R}

Donc :

\mathbb{N} \ est\ un \ fermé \ de \ \mathbb{R}

Montrons que

\mathbb{Q} \ n'est\ pas\ un \ fermé \ de \ \mathbb{R}

En effet, comme

\sqrt{2}

est irrationnel (c’est ici pour voir diverses preuves de son irrationnalité) et que

\sqrt{2}= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor}{10^n}

(Pour le prouver, il suffit de revenir à la définition de la partie entière)
avec

\dfrac{\lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor}{10^n} \in \mathbb{Q}

Racine de 2 est donc un irrationnel limite d’une suite de rationnels ce qui permet de conclure sur le fait que l’ensemble des rationnels n’est pas un fermé de l’ensemble des réels.

Exercice 287

Fermeture de Sn

Ici, la démonstration est assez simple. On va prendre la fonction

\varphi :\left\{ \begin{array}{lll}M_n(\mathbb{R}) &\rightarrow &\mathbb{R}\\A &\mapsto &A- {}^t A \end{array} \right.

On a :

S_n(\mathbb{R}) = \varphi^{-1}(\{0\})

De plus, φ est une fonction continue. Cela suffit donc pour conclure que l’ensemble des matrices symétriques est un fermé de l’ensemble des matrices. Bien sûr, comme ce n’est ni l’ensemble vide, ni l’espace tout entier, il n’est pas à la fois ouvert et fermé.

Exercice 319

Vect d'un ouvert

O est un ouvert. Soit x un point de O.

\exists \varepsilon > 0, B(x,\varepsilon) \in O

Maintenant, prenons

y \in B(x,\varepsilon) 

On a :

z = y - x  \in Vect(O)

Or

z = y - x \in B(x,\varepsilon) - x = B(0,\varepsilon) 

On en déduit aisément que

B(0,\varepsilon)  \in vect(O)

Maintenant, soit x un élément de E. On a

y = \dfrac{\| \varepsilon \|}{2\|x\|} x \in B(0,\varepsilon)

En effet,

\| y \|= \dfrac{\| \varepsilon \|}{2\|x\|} \| x \| = \dfrac{\varepsilon }{2} \leq \varepsilon

On a donc :

x =  \dfrac{\| x\|}{2\|\varepsilon\|} y \in Vect(B(0,\varepsilon)) \subset Vect(O)

On vient de montrer que :

\forall x \in E, x \in Vect(O)

Ce qui nous permet de conclure :

E = Vect(O)

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