Cette page a pour but de regrouper quelques exercices sur les ouverts et fermés en topologie. Ce chapitre est à aborder en MP, PC, PT, PSI ou MPI et de manière générale en seconde année dans le supérieur
Exercice 318
Montrons d’abord que \Z est fermé dans \R . Pour cela considérons la fonction :
f :\left\{ \begin{array}{lll}\mathbb{R} &\rightarrow &\mathbb{R}\\x &\mapsto &\sin(\pi x) \end{array} \right.f est une fonction continue. On remarque que : \Z = f^{-1}({0})
Or {0} est un fermé de l’ensemble des réels. Donc cela suffit à conclure.
Autre démonstration :
Z = {}^{C}\left(\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}]n;n+1[\right)Qui est une union quelconque d’intervalles ouverts qui sont des ouverts. Donc c’est le complémentaire d’un ouvert. Ainsi, c’est un fermé.
Pour l’ensemble des entiers naturels, on va voir le même raisonnement. Cette fois, on considère
g :\left\{ \begin{array}{lll}\mathbb{R}_+ &\rightarrow &\mathbb{R}\\x &\mapsto &\sin(\pi x) \end{array} \right.g est continue et on a \N = g^{-1}({0})
Ce qui nous amène à la conclusion suivante : \N est un fermé de \R_+ .
Or, \R_+ est un fermé de \R
Donc : \N est un fermé de \R
Montrons que \mathbb{Q} n’est pas un fermé de \R
En effet, comme \sqrt{2} est irrationnel (c’est ici pour voir diverses preuves de son irrationnalité) et que \sqrt{2}= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor}{10^n}
Pour le prouver, il suffit de revenir à la définition de la partie entière avec \dfrac{\lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor}{10^n} \in \mathbb{Q}
\sqrt{2} est donc un irrationnel limite d’une suite de rationnels ce qui permet de conclure sur le fait que l’ensemble des rationnels n’est pas un fermé de l’ensemble des réels.
Exercice 287
Ici, la démonstration est assez simple. On va prendre la fonction
\varphi :\left\{ \begin{array}{lll}M_n(\mathbb{R}) &\rightarrow &\mathbb{R}\\A &\mapsto &A- {}^t A \end{array} \right.On a S_n(\mathbb{R}) = \varphi^{-1}({0}) .
De plus, φ est une fonction continue. Cela suffit donc pour conclure que l’ensemble des matrices symétriques est un fermé de l’ensemble des matrices. Bien sûr, comme ce n’est ni l’ensemble vide, ni l’espace tout entier, il n’est pas à la fois ouvert et fermé.
Exercice 319
O est un ouvert. Soit x un point de O. \exists \varepsilon > 0, B(x,\varepsilon) \in O . Maintenant, prenons y \in B(x,\varepsilon)
On a z = y - x \in Vect(O) .
Or z = y - x \in B(x,\varepsilon) - x = B(0,\varepsilon) .
On en déduit aisément que B(0,\varepsilon) \in vect(O)
Maintenant, soit x un élément de E. On a
y = \dfrac{\| \varepsilon \|}{2\|x\|} x \in B(0,\varepsilon)En effet, | y |= \dfrac{| \varepsilon |}{2|x|} | x | = \dfrac{\varepsilon }{2} \leq \varepsilon
On a donc x = \dfrac{| x|}{2|\varepsilon|} y \in Vect(B(0,\varepsilon)) \subset Vect(O)
On vient de montrer que \forall x \in E, x \in Vect(O)
Ce qui nous permet de conclure :
E = Vect(O)
Vous voulez plus d’exercices de topologie ? Retrouvez nos exercices sur les ouverts et fermés dans les espaces de fonctions.
