Voici l’énoncé d’un exercice qui démontre dans 2 cas le lemme de Riemann-Lebesgue, appelé aussi théorème de Riemann-Lebesgue ou lemme de Lebesgue. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre de la continuité mais aussi dans le chapitre des intégrales. C’est un exercice plutôt de première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Lemme de Riemann-Lebesgue

Passons tout de suite à la correction du lemme de Riemann-Lebesgue !

Question 1

Pour arriver au résultat voulu, nous allons procéder à une intégration par parties en intégrant f et en dérivant l’exponentielle :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_a^b f(t)e^{ixt}dt\\
= \left[f(t) \dfrac{1}{ix}e^{ixt}\right]_a^b - \dfrac{1}{ix}\displaystyle \int_a^b f'(t)e^{ixt}dt\\
= f(b) \dfrac{1}{ix}e^{ixb}-f(a) \dfrac{1}{ix}e^{ixa} - \dfrac{1}{ix}\displaystyle \int_a^b f'(t)e^{ixt}dt\\
= \dfrac{1}{ix} \left( f(b)e^{ixb}-f(a) e^{ixa} -\displaystyle \int_a^b f'(t)e^{ixt}dt\right)
\end{array}

On va ensuite majorer la quantité obtenue :

\begin{array}{l}
\displaystyle\left| \int_a^b f(t)e^{ixt}dt\right|\\
\leq \left|\dfrac{1}{ix}\right| \left(\left| f(b)e^{ixb}\right|+\left|f(a) e^{ixa} \right|+\left|\displaystyle \int_a^b f'(t)dt\right| \right)\\
\leq \dfrac{1}{x} \left(\left| f(b)\right|+\left|f(a) \right|+\displaystyle \int_a^b \left| f'(t)e^{ixt}dt\right| \right)\\
\leq \dfrac{1}{x} \left(\left| f(b)\right|+\left|f(a) \right|+\displaystyle \int_a^b \left| Mdt\right| \right)\\
\leq \dfrac{1}{x} \left(\left| f(b)\right|+\left|f(a) \right|+\displaystyle M(b-a) \right)
\end{array}

M = \displaystyle \sup_{x \in[a,b]} f'(t) 

On a ensuite le résultat suivant :

\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty }  \dfrac{1}{x} \left(\left| f(b)\right|+\left|f(a) \right|+\displaystyle M(b-a) \right) =0 

Ce qui nous donne le résultat voulu, c’est à dire :

\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty } \int_a^b f(t)e^{ixt}dt=0

Question 2

Passons au cas continue par morceaux ! Forcément, quand on réduit les hypothèses, la démonstration se complique. Nous allons, pour nous aider, utiliser le théorème suivant d’approximation des fonctions continues par les fonctions en escalier :

\begin{array}{l}
\text{Soit } f:[a,b]\to \mathbb R \text{ continue.}\\
\text{Il existe une suite } (e_n)_{n \in \mathbb{N}}\\ 
\text{de fonctions en escalier sur } [a,b]\\
\text{qui converge uniformément vers } f\text{ sur } [a,b]
\end{array}

Soit ε > 0. Il existe donc d’après ce théorème, une fonctions en escalier φ telle que

|| f - \varphi||_{\infty}\leq \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}

Prenons une subdivision (an)1≤k≤n de [a,b] adaptée à φ. On peut alors écrire notre intégrale sous la forme :

\begin{array}{l}
\displaystyle \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt=\sum_{k=1}^n \lambda_k \int_{a_k}^{a_{k+1}} e^{ixt} dt\\
=\displaystyle \sum_{k=1}^n\lambda_k \frac{e^{ixa_k}-e^{ixa_{k+1}}}{ix}
\end{array}

Majorons maintenant cette quantité :

\begin{array}{l}
\left| \displaystyle \sum_{k=1}^n\lambda_k \frac{e^{ixa_k}-e^{ixa_{k+1}}}{ix} \right|\\
\leq \left|\dfrac{1}{ix}\right| \displaystyle\sum_{k=1}^n\left| \lambda_k (e^{ixa_k}-e^{ixa_{k+1}}) \right|\\
\leq \left|\dfrac{1}{ix}\right| \displaystyle\sum_{k=1}^n\left| \lambda_k \right|( \left| e^{ixa_k}\right|+\left|e^{ixa_{k+1}} \right|)\\
\leq \dfrac{2}{x} \displaystyle\sum_{k=1}^n\left| \lambda_k \right|
\end{array}

Pour x assez grand, on a

\dfrac{2}{x} \displaystyle\sum_{k=1}^n\left| \lambda_k \right| \leq \dfrac{\varepsilon}{2}

Continuons les majorations, mais cette fois pour f :

\begin{array}{l}
\displaystyle \left| \int_a^b f(t)e^{ixt}dt \right|\\
\displaystyle \left| \int_a^b (f(t)-\varphi(t))e^{ixt}dt \right|+\left| \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt \right|\\
\displaystyle  \int_a^b \left| (f(t)-\varphi(t)) \right|dt +\left| \int_a^b \varphi(t)e^{ixt}dt \right|\\
\leq (b-a) ||f-\varphi||_{\infty} + \dfrac{\varepsilon}{2}\\
\leq (b-a)  \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
\end{array}

ε étant choisi arbitrairement, on a bien le résultat voulu c’est à dire :

\lim_{x \rightarrow + \infty} \int_a^b f(t)e^{ixt}dt = 0

On a donc démontré le lemme de Riemann-Lebesgue dans le cas continu par morceaux (et dans le cas C1 mais c’est un sous-cas de ce dernier).

Cet exercice vous a plu ?

N’hésitez pas à proposer vos propres exercices !

Laisser un commentaire