Partie entière : Cours et exercices corrigés

Tout savoir sur la partie entière : Définition, propriété, exemples et exercices
partie entière

Définition

La partie entière est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition : La partie entière de x est l’unique entier n tel que

n \leq x < n +1

On note cet entier \lfloor x \rfloor . Et voilà sa représentation sur une courbe :

partie entière courbe
La partie entière

Propriétés

  • La partie entière est une fonction croissante.
  • Elle est continue par morceaux.
  • Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ]n;n+1[ avec n entier relatif

On a aussi, de manière assez triviale :

\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor 

La partie entière vérifie ces deux inégalités :

\begin{array}{l}
\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1 \text{ (par définition)}\\
\text{et}\\
 x -1< \lfloor x \rfloor \leq x 
\end{array}

La propriété suivante est aussi vraie :

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z},  \lfloor x +n\rfloor= \lfloor x \rfloor+n 

De plus, on a cette propriété à plutôt bien connaitre :

\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x +y\rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y\rfloor +1

Et voici une autre propriété, pas forcément très utile, qui découle de la précédente :

\forall x \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor+ \lfloor - x \rfloor= \left\{\begin{array}{ll} 0& \text{ si } x\in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ sinon}\end{array}\right.

Et terminons par cette dernière propriété (pas à connaitre mais à savoir démontrer)

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\left\lfloor\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor =\lfloor x \rfloor

Exemple

Voici quelques calculs de parties entières :

\begin{array}{rl}
\lfloor 2,3\rfloor &=2\\
\lfloor -2,3\rfloor &=-3\\
\lfloor \pi\rfloor &=3
\end{array}

Découvrez toutes nos vidéos sur les parties entières :

Exercices corrigés

Exercice 628

Enoncé : Montrer que

\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor

Montrer aussi que

\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor+ \lfloor x+y \rfloor  \leq \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor

Corrigé : Pour cette première inégalité, qui est en fait une des propriétés énoncées dans le cours. Nous allons utiliser ce qu’on appelle la partie fractionnaire d’un nombre. On pose :

\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1[

On a :

\begin{array}{ll}
\lfloor x +y\rfloor &=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor \\
& =\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \\
& \geq \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor 
\end{array}

Ce qui suffit pour démontrer le premier résultat. Maintenant, via le même procédé, on a d’une part :

\begin{array}{l}
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \\
=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor +\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \\
 =2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor
\end{array}

D’autre part,

\begin{array}{l}
\lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor\\
=\left\lfloor 2\lfloor x \rfloor +2\{ x \} \right\rfloor + \left\lfloor 2\lfloor y \rfloor +2\{y \} \right\rfloor \\
 =2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor 
\end{array}

Or,

\{ x \}+\{ y \}  \leq 2(\{ x \}+\{ y \})

Donc,

\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \leq \left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor 

Ainsi, nous pouvons conclure :

\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \leq \lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor

Exercice 909

Enoncé : Soit x un réel positif. Comparer \lfloor \sqrt x\rfloor et \lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor

Corrigé : On a, d’une part,

\lfloor x \rfloor \leq x

Et donc, par croissance, en prenant la racine puis la partie entière, on a :

\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{x}\rfloor

D’autre part,

\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq\sqrt{x}

En élevant au carré, on obtient :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq x

Cependant, le membre de gauche est un entier, ce qui fait que :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq \lfloor x \rfloor

Puis on prend à nouveau la racine carrée de ces 2 quantités positives pour obtenir :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \sqrt{\lfloor x \rfloor}

Ensuite, on peut reprendre la partie entière de chaque côté mais on ne change pas le terme de gauche puisqu’il est déjà entier :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor}\rfloor

Ce qui est l’inégalité dans l’autre sens. On a donc :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor =\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor}\rfloor

ce qui permet de conclure cet exercice !

Exercice 910

On va démontrer une des autres propriétés énoncées plus haut :

\forall x\in\mathbb R, \forall n\in\mathbb N^*\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor

Commençons par un premier sens de l’inégalité. On sait que :

\lfloor nx \rfloor  \leq nx 

On en déduit donc facilement que :

\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}  \leq x 

Puis, par croissance de la fonction partie entière :

\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}  \right\rfloor\leq \lfloor x \rfloor

Passons maintenant à l’autre sens :
On sait que :

\lfloor x \rfloor \leq x 

Donc, en multipliant par n :

n\lfloor x \rfloor \leq nx 

Puis on prend la partie entière de chaque côté :

\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor \leq \lfloor nx \rfloor

Mais comme

 n\lfloor x\rfloor  \in \mathbb{N}

On a nécessairement :

\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor = n\lfloor x\rfloor 

Ce qui fait qu’on va maintenant diviser par n de chaque côté pour obtenir :

\lfloor x\rfloor \leq \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}

On peut maintenant prendre la partie entière de chaque côté :

\lfloor x\rfloor \leq \left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloor

Ce qui nous permet de conclure cet exercice par la propriété voulue :

\lfloor x\rfloor =\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloor

Exercice 916

Enoncé : Résoudre, pour x réel positif,

 x \lfloor x \lfloor x \lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor = 88 

Corrigé : On sait que 3^4 = 81 et que 4^4 = 256

On sait donc maintenant que nécessairement \lfloor x \rfloor = 3 . Notre équation se ramène donc à x \lfloor x \lfloor 3x\rfloor\rfloor = 88 .

Posons alors x = 3 + a avec 0 < a < 1

 \begin{array}{ll}&(3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 3(3+a)\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 9+3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) (9+\lfloor 3a\rfloor)\rfloor = 88 \\
\end{array}

On continue de développer :

 \begin{array}{ll} & (3+a)\lfloor (27+9a) +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff &  27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 7 \\
\end{array}

On en déduit que

a < \dfrac{7}{27} < \dfrac{1}{3} \Rightarrow 3a < 1

Ce qui nous donne que

\lfloor 3a \rfloor = 0

On est donc ramenés à l’équation :

27a+ (3+a)\lfloor 9a\rfloor = 7

Se présentent 3 possibilités pour la valeur de la partie de 9a : 0, 1 ou 2. Si c’est 0 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 0\\
 \Rightarrow & 27a = 7\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{7}{27}\rfloor=2 
\end{array}

Ce qui nous amène à une contradiction.
Si c’est 2 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 2\\
 \Rightarrow & 27a+ (3+a)2 = 7\\
 \Rightarrow & 29a = 1\\
 \Rightarrow & a = \dfrac{1}{29}\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{29}\rfloor=0
\end{array}

On aboutit là aussi à une contradiction.
Si c’est 1 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 1\\
 \Rightarrow & 27a+ (3+a)1 = 7\\
 \Rightarrow & 28a = 4\\
 \Rightarrow & a = \dfrac{1}{7}\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{7}\rfloor=1
\end{array}

On a donc trouvé la valeur de a. Finalement :

x = 3 + a = \dfrac{22}{7}

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