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partie entière
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Partie entière : Cours et exercices corrigés

Définition

La partie entière est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition : La partie de entière de x est l’unique entier n tel que

n \leq x < n +1

On note cet entier

\lfloor x \rfloor

Et voilà sa représentation sur une courbe :

partie entière courbe
La valeur absolue

Propriétés

  • La partie entière est une fonction croissante.
  • Elle est continue par morceaux.
  • Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ]n;n-1[ avec n entier relatif

On a aussi, de manière assez triviale :

\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor 

La partie entière vérifie ces deux inégalités :

\begin{array}{l}
\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1 \text{ (par définition)}\\
\text{et}\\
 x -1< \lfloor x \rfloor \leq x 
\end{array}

La propriété suivante est aussi vraie :

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z},  \lfloor x +n\rfloor= \lfloor x \rfloor+n 

De plus, on a cette propriété à plutôt bien connaitre :

\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x +y\rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y\rfloor +1

Et voici une autre propriété, pas forcément très utile, qui découle de la précédente :

\forall x \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor+ \lfloor - x \rfloor= \left\{\begin{array}{ll} 0& \text{ si x } \in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ sinon}\end{array}\right.

Et terminons par cette dernière propriété (pas à connaitre mais à savoir démontrer)

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\left\lfloor\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor =\lfloor x \rfloor

Exemple

Exemple 1
Calculs de parties entières :

\begin{array}{rl}
\lfloor 2,3\rfloor &=2\\
\lfloor -2,3\rfloor &=-3\\
\lfloor \pi\rfloor &=3
\end{array}

Exercices corrigés

Exercice 628

Montrer que

\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor

Montrer aussi que

\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor+ \lfloor x+y \rfloor  \leq \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor

Pour cette première inégalité, qui est en fait une des propriétés énoncées dans le cours. Nous allons utiliser ce qu’on appelle la partie fractionnaire d’un nombre. On pose :

\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1[

On a :

\begin{array}{ll}
\lfloor x +y\rfloor &=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor \\
& =\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \\
& \geq \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor 
\end{array}

Ce qui suffit pour démontrer le premier résultat. Maintenant, via le même procédé, on a d’une part :

\begin{array}{l}
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \\
=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor +\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \\
 =2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor
\end{array}

D’autre part,

\begin{array}{l}
\lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor\\
=\left\lfloor 2\lfloor x \rfloor +2\{ x \} \right\rfloor + \left\lfloor 2\lfloor y \rfloor +2\{y \} \right\rfloor \\
 =2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor 
\end{array}

Or,

\{ x \}+\{ y \}  \leq 2(\{ x \}+\{ y \})

Donc,

\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \leq \left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor 

Ainsi, nous pouvons conclure :

\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor  \leq \lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor

Exercice 909

Soit x un réel positif. Comparer

\lfloor \sqrt x\rfloor

et

\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloor

On a, d’une part,

\lfloor x \rfloor \leq x

Et donc, par croissance, en prenant la racine puis la partie entière, on a :

\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{x}\rfloor

D’autre part,

\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq\sqrt{x}

En élevant au carré, on obtient :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq x

Cependant, le membre de gauche est un entier, ce qui fait que :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq \lfloor x \rfloor

Puis on prend à nouveau la racine carrée de ces 2 quantités positives pour obtenir :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \sqrt{\lfloor x \rfloor}

Ce qui est l’inégalité dans l’autre sens. On a donc :

\lfloor \sqrt{x} \rfloor =\sqrt{\lfloor x \rfloor}

ce qui permet de conclure cet exercice !

Exercice 910

On va démontrer une des autres propriétés énoncées plus haut :

\forall x\in\mathbb R, \forall n\in\mathbb N^*\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor

Commençons par un premier sens de l’inégalité. On sait que :

\lfloor nx \rfloor  \leq nx 

On en déduit donc facilement que :

\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}  \leq x 

Puis, par croissance de la fonction partie entière :

\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}  \right\rfloor\leq \lfloor x \rfloor

Passons maintenant à l’autre sens :
On sait que :

\lfloor x \rfloor \leq x 

Donc, en multipliant par n :

n\lfloor x \rfloor \leq nx 

Puis on prend la partie entière de chaque côté :

\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor \leq \lfloor nx \rfloor

Mais comme

 n\lfloor x\rfloor  \in \mathbb{N}

On a nécessairement :

\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor = n\lfloor x\rfloor 

Ce qui fait qu’on va maintenant diviser par n de chaque côté pour obtenir :

\lfloor x\rfloor \leq \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}

On peut maintenant prendre la partie entière de chaque côté :

\lfloor x\rfloor \leq \left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloor

Ce qui nous permet de conclure cet exercice par la propriété voulue :

\lfloor x\rfloor =\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloor

Exercice 916

Résoudre, pour x réel positif,

 x \lfloor x \lfloor x \lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor = 88 

On sait que

3^4 = 81

Et que

4^4 = 256

On sait donc maintenant que nécessairement :

\lfloor x \rfloor = 3

Notre équation se ramène donc à

 x \lfloor x \lfloor 3x\rfloor\rfloor = 88 

Posons alors x = 3 + a avec 0 < a < 1

 \begin{array}{ll}&(3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 3(3+a)\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 9+3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) (9+\lfloor 3a\rfloor)\rfloor = 88 \\
\end{array}

On continue de développer :

 \begin{array}{ll} & (3+a)\lfloor (27+9a) +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff &  27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 7 \\
\end{array}

On en déduit que

a < \dfrac{7}{27} < \dfrac{1}{3} \Rightarrow 3a < 1

Ce qui nous donne que

\lfloor 3a \rfloor = 0

On est donc ramenés à l’équation :

27a+ (3+a)\lfloor 9a\rfloor = 7

Se présentent 3 possibilités pour la valeur de la partie de 9a : 0, 1 ou 2. Si c’est 0 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 0\\
 \Rightarrow & 27a = 7\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{7}{27}\rfloor=2 
\end{array}

Ce qui nous amène à une contradiction.
Si c’est 2 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 2\\
 \Rightarrow & 27a+ (3+a)2 = 7\\
 \Rightarrow & 29a = 1\\
 \Rightarrow & a = \dfrac{1}{29}\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{29}\rfloor=0
\end{array}

On aboutit là aussi à une contradiction.
Si c’est 1 :

\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 1\\
 \Rightarrow & 27a+ (3+a)1 = 7\\
 \Rightarrow & 28a = 4\\
 \Rightarrow & a = \dfrac{1}{7}\\
 \Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{7}\rfloor=1
\end{array}

On a donc trouvé la valeur de a. Finalement :

x = 3 + a = \dfrac{22}{7}

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