Au sommaire de cet article
Définition
La partie entière est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition : La partie entière de x est l’unique entier n tel que
n \leq x < n +1
On note cet entier
\lfloor x \rfloor
Et voilà sa représentation sur une courbe :
Propriétés
- La partie entière est une fonction croissante.
- Elle est continue par morceaux.
- Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ]n;n+1[ avec n entier relatif
On a aussi, de manière assez triviale :
\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor
La partie entière vérifie ces deux inégalités :
\begin{array}{l}
\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1 \text{ (par définition)}\\
\text{et}\\
x -1< \lfloor x \rfloor \leq x
\end{array}La propriété suivante est aussi vraie :
\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}, \lfloor x +n\rfloor= \lfloor x \rfloor+n De plus, on a cette propriété à plutôt bien connaitre :
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x +y\rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y\rfloor +1
Et voici une autre propriété, pas forcément très utile, qui découle de la précédente :
\forall x \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor+ \lfloor - x \rfloor= \left\{\begin{array}{ll} 0& \text{ si x } \in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ sinon}\end{array}\right.Et terminons par cette dernière propriété (pas à connaitre mais à savoir démontrer)
\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\left\lfloor\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor =\lfloor x \rfloorExemple
Exemple 1
Calculs de parties entières :
\begin{array}{rl}
\lfloor 2,3\rfloor &=2\\
\lfloor -2,3\rfloor &=-3\\
\lfloor \pi\rfloor &=3
\end{array}Découvrez toutes nos vidéos sur les parties entières :
Exercices corrigés
Exercice 628
Montrer que
\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloorMontrer aussi que
\forall x,y \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor+ \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloorPour cette première inégalité, qui est en fait une des propriétés énoncées dans le cours. Nous allons utiliser ce qu’on appelle la partie fractionnaire d’un nombre. On pose :
\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1[On a :
\begin{array}{ll}
\lfloor x +y\rfloor &=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor \\
& =\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \\
& \geq \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor
\end{array}Ce qui suffit pour démontrer le premier résultat. Maintenant, via le même procédé, on a d’une part :
\begin{array}{l}
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \\
=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor +\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \\
=2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor
\end{array}D’autre part,
\begin{array}{l}
\lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor\\
=\left\lfloor 2\lfloor x \rfloor +2\{ x \} \right\rfloor + \left\lfloor 2\lfloor y \rfloor +2\{y \} \right\rfloor \\
=2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor
\end{array}Or,
\{ x \}+\{ y \} \leq 2(\{ x \}+\{ y \})Donc,
\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \leq \left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor Ainsi, nous pouvons conclure :
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor
Exercice 909
Soit x un réel positif. Comparer
\lfloor \sqrt x\rfloor
et
\lfloor \sqrt{\lfloor x\rfloor}\rfloorOn a, d’une part,
\lfloor x \rfloor \leq x
Et donc, par croissance, en prenant la racine puis la partie entière, on a :
\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{x}\rfloorD’autre part,
\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq\sqrt{x}En élevant au carré, on obtient :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq xCependant, le membre de gauche est un entier, ce qui fait que :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq \lfloor x \rfloorPuis on prend à nouveau la racine carrée de ces 2 quantités positives pour obtenir :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \sqrt{\lfloor x \rfloor}Ensuite, on peut reprendre la partie entière de chaque côté mais on ne change pas le terme de gauche puisqu’il est déjà entier :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor}\rfloorCe qui est l’inégalité dans l’autre sens. On a donc :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor =\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor}\rfloorce qui permet de conclure cet exercice !
Exercice 910
On va démontrer une des autres propriétés énoncées plus haut :
\forall x\in\mathbb R, \forall n\in\mathbb N^*\left \lfloor \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor =\lfloor x\rfloorCommençons par un premier sens de l’inégalité. On sait que :
\lfloor nx \rfloor \leq nx
On en déduit donc facilement que :
\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \leq x Puis, par croissance de la fonction partie entière :
\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor\leq \lfloor x \rfloorPassons maintenant à l’autre sens :
On sait que :
\lfloor x \rfloor \leq x
Donc, en multipliant par n :
n\lfloor x \rfloor \leq nx
Puis on prend la partie entière de chaque côté :
\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor \leq \lfloor nx \rfloor
Mais comme
n\lfloor x\rfloor \in \mathbb{N}On a nécessairement :
\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor = n\lfloor x\rfloor
Ce qui fait qu’on va maintenant diviser par n de chaque côté pour obtenir :
\lfloor x\rfloor \leq \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}On peut maintenant prendre la partie entière de chaque côté :
\lfloor x\rfloor \leq \left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloorCe qui nous permet de conclure cet exercice par la propriété voulue :
\lfloor x\rfloor =\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloorExercice 916
Résoudre, pour x réel positif,
x \lfloor x \lfloor x \lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor = 88
On sait que
3^4 = 81
Et que
4^4 = 256
On sait donc maintenant que nécessairement :
\lfloor x \rfloor = 3
Notre équation se ramène donc à
x \lfloor x \lfloor 3x\rfloor\rfloor = 88
Posons alors x = 3 + a avec 0 < a < 1
\begin{array}{ll}&(3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 3(3+a)\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) \lfloor 9+3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & (3+a)\lfloor (3+a) (9+\lfloor 3a\rfloor)\rfloor = 88 \\
\end{array}
On continue de développer :
\begin{array}{ll} & (3+a)\lfloor (27+9a) +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 81 + 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 88 \\
\iff & 27a+ (3+a)\lfloor 9a +3\lfloor 3a\rfloor+a\lfloor 3a\rfloor\rfloor = 7 \\
\end{array}
On en déduit que
a < \dfrac{7}{27} < \dfrac{1}{3} \Rightarrow 3a < 1Ce qui nous donne que
\lfloor 3a \rfloor = 0
On est donc ramenés à l’équation :
27a+ (3+a)\lfloor 9a\rfloor = 7
Se présentent 3 possibilités pour la valeur de la partie de 9a : 0, 1 ou 2. Si c’est 0 :
\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 0\\
\Rightarrow & 27a = 7\\
\Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{7}{27}\rfloor=2
\end{array}Ce qui nous amène à une contradiction.
Si c’est 2 :
\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 2\\
\Rightarrow & 27a+ (3+a)2 = 7\\
\Rightarrow & 29a = 1\\
\Rightarrow & a = \dfrac{1}{29}\\
\Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{29}\rfloor=0
\end{array}On aboutit là aussi à une contradiction.
Si c’est 1 :
\begin{array}{ll}
&\lfloor 9a\rfloor = 1\\
\Rightarrow & 27a+ (3+a)1 = 7\\
\Rightarrow & 28a = 4\\
\Rightarrow & a = \dfrac{1}{7}\\
\Rightarrow &\lfloor 9a\rfloor =\lfloor 9\times \dfrac{1}{7}\rfloor=1
\end{array}On a donc trouvé la valeur de a. Finalement :
x = 3 + a = \dfrac{22}{7}Retrouvez tous nos derniers cours sur le même thème :
