Au sommaire de cet article
Définition
La valeur absolue est une fonction définie sur les réels. En voici sa définition : La partie de entière de x est l’unique entier n tel que
n \leq x < n +1
On note cet entier
\lfloor x \rfloor
Et voilà sa représentation sur une courbe :
Propriétés
- La partie entière est une fonction croissante.
- Elle est continue par morceaux.
- Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ]n;n-1[ avec n entier relatif
On a aussi, de manière assez triviale :
\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor
La partie entière vérifie ces deux inégalités :
\begin{array}{l}
\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1 \text{ (par définition)}\\
\text{et}\\
x -1< \lfloor x \rfloor \leq x
\end{array}La propriété suivante est aussi vraie :
\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{Z}, \lfloor x +n\rfloor= \lfloor x \rfloor+n De plus, on a cette propriété à plutôt bien connaitre :
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x +y\rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y\rfloor +1
Et voici une autre propriété, pas forcément très utile, qui découle de la précédente :
\forall x \in \mathbb{R}, \lfloor x \rfloor+ \lfloor - x \rfloor= \left\{\begin{array}{ll} 0& \text{ si x } \in \mathbb{Z}\\ -1& \text{ sinon}\end{array}\right.Et terminons par cette dernière propriété (pas à connaitre mais à savoir démontrer)
\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^*,\left\lfloor\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor =\lfloor x \rfloorExemple
Exemple 1
Calculs de parties entières :
\begin{array}{rl}
\lfloor 2,3\rfloor &=2\\
\lfloor -2,3\rfloor &=-3\\
\lfloor \pi\rfloor &=3
\end{array}Exercices corrigés
Exercice 628
Pour cette première inégalité, qui est en fait une des propriétés énoncées dans le cours. Nous allons utiliser ce qu’on appelle la partie fractionnaire d’un nombre. On pose :
\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1[On a :
\begin{array}{ll}
\lfloor x +y\rfloor &=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor \\
& =\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \\
& \geq \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor
\end{array}Ce qui suffit pour démontrer le premier résultat. Maintenant, via le même procédé, on a d’une part :
\begin{array}{l}
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \\
=\left\lfloor \lfloor x \rfloor +\{ x \}+\lfloor y \rfloor +\{ y \} \right\rfloor +\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \\
=2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor
\end{array}D’autre part,
\begin{array}{l}
\lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor\\
=\left\lfloor 2\lfloor x \rfloor +2\{ x \} \right\rfloor + \left\lfloor 2\lfloor y \rfloor +2\{y \} \right\rfloor \\
=2\lfloor x \rfloor +2\lfloor y \rfloor +\left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor
\end{array}Or,
\{ x \}+\{ y \} \leq 2(\{ x \}+\{ y \})Donc,
\left\lfloor\{ x \}+\{ y \} \right\rfloor \leq \left\lfloor 2(\{ x \}+\{ y \}) \right\rfloor Ainsi, nous pouvons conclure :
\lfloor x +y\rfloor+\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor 2x \rfloor +\lfloor 2y\rfloor
Exercice 909
On a, d’une part,
\lfloor x \rfloor \leq x
Et donc, par croissance, en prenant la racine puis la partie entière, on a :
\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor \leq \lfloor \sqrt{x}\rfloorD’autre part,
\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq\sqrt{x}En élevant au carré, on obtient :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq xCependant, le membre de gauche est un entier, ce qui fait que :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor^2 \leq \lfloor x \rfloorPuis on prend à nouveau la racine carrée de ces 2 quantités positives pour obtenir :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor \leq \sqrt{\lfloor x \rfloor}Ce qui est l’inégalité dans l’autre sens. On a donc :
\lfloor \sqrt{x} \rfloor =\sqrt{\lfloor x \rfloor}ce qui permet de conclure cet exercice !
Exercice 910
On va démontrer une des autres propriétés énoncées plus haut :
Commençons par un premier sens de l’inégalité. On sait que :
\lfloor nx \rfloor \leq nx
On en déduit donc facilement que :
\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \leq x Puis, par croissance de la fonction partie entière :
\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor\leq \lfloor x \rfloorPassons maintenant à l’autre sens :
On sait que :
\lfloor x \rfloor \leq x
Donc, en multipliant par n :
n\lfloor x \rfloor \leq nx
Puis on prend la partie entière de chaque côté :
\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor \leq \lfloor nx \rfloor
Mais comme
n\lfloor x\rfloor \in \mathbb{N}On a nécessairement :
\lfloor n\lfloor x\rfloor \rfloor = n\lfloor x\rfloor
Ce qui fait qu’on va maintenant diviser par n de chaque côté pour obtenir :
\lfloor x\rfloor \leq \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}On peut maintenant prendre la partie entière de chaque côté :
\lfloor x\rfloor \leq \left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloorCe qui nous permet de conclure cet exercice par la propriété voulue :
\lfloor x\rfloor =\left\lfloor \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right \rfloorRetrouvez tous nos derniers cours sur le même thème :
- Petit théorème de Fermat : Cours, Démonstration et exercices corrigés
- Partie entière : Cours et exercices corrigés
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- Trouver des équivalents pour les suites récurrentes
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